Производные показательной и степенной функций

Решение.

Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть функция y= f(x) задана неявно уравнением F(x;y)=0. Дифференцируя это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим из полученного равенства y’.

Например. Найти y', если функция y задана уравнением:

x³ + y³ - xy=0

3x² + 3y²×y’-y - xy’=0

y’(3y² – x) = y – 3x²

Ответ: .

Теорема 7.Степенная функция y = x^a(aÎR) дифференцируема при любом xÎR и справедлива формула:

(x^a)' = a ×x^a-1.

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x^a, предполагая x>0:

ln y = a× ln x

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x^a неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y':

Подставим в полученное равенство y = x^a:

Теорема доказана.

Теорема 8. Показательная функция y=a^x (a>0, a #1) дифференцируема при любом xÎR и справедлива формула:

(a^x)' = a^x × lna

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = a^x:

lny = x lna.

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = a^x неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y': y' = y × lna.

Подставим в полученное равенство y = a^x :

(a^x)'= a^x × lna

Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

(e^x)' = e^x × lne или (e^x)' = e^x.

Теорема 9. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))^V(x) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

((U(x))^V(x))' = (U(x))^V(x) × V' (x) lnU(x) + U' (x) × V(x) ×(U(x))^V(x)-1.

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y=(U(x))^V(x) по основанию e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.