Следствия.

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в т. х, то функция (U(x) × V(x) × W(x)) дифференцируема в т. х и ее производная вычисляется по формуле:

(U×V×W)' = U'×V×W + U×V'×W + U×V×W'.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

(C×U(x))' = C×U' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x)#0, то функция дифференцируема в точке х и ее производная вычисляется по формуле: .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдем ее приращение

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx®0:

Значит, .

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции)

Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причем u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(U). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то ее приращение можно записать в виде:

, где

Разделим на Dx и перейдем к пределу при Dx®0:

(если Dx®0, то Du®0, т.к. u(x) дифференцируема, а значит непрерывна)

Значит: (f(u(x)))' = f’(u) ×u' (x).

Теорема доказана.