Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Таблица производных основных элементарных функций

1)

Вывод: ;

2) ;

Вывод: ;

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4)

Вывод: так как ln x = log_e x, то, используя производную, для (log_a x), можно записать:

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) - y(x) = c-c = 0

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' =0

2. (x^a) = a×x^a-1

3. (a^x)' = a^x×lna, (a>0, a # 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_ax)' = , (a>0; a # 1)

6. (lnx)' =

7. (sinx)' =cosx

8. (cosx)' = - sinx

9. (tgx)' =

10. (ctgx)' = -

11. (arcsinx)' =

12. (arccosx)' = -

13. (arctgx)' =

14. (arcctgx)' = -

Определение 3. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке xÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и ее приращение в этой точке можно представить в виде: Dx = A×Dx+a(Dx)×Dx, где A=A(x) – не зависит от Dx; a(Dx) – бесконечно малая при Dx®0, то есть .

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' (x). При этом

f' (x) = A.