Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки x0 (рис.5).
Рис. 5
Точка M0(x0;y(x0)) – фиксированная точка графика y = f(x). Точка M(x0+Dx;y(x0+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M0 (при этом Dx ®0), то секущая линия M0M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M0.
Рассмотрим D M0MA: tgaсек= 
, aсек = угол наклона секущей M0M к оси Ox.
Перейдем к пределу при Dx ®0:
То есть y' (x0) = tg aкас => частное значение производной функции y = f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f(x) в точке M0(x0;y(x0)).
Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x0;y0) с известным угловым коэффициентом Kкас = y'(x0), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M0(x0;f(x0)):
y = f(x0) + f' '(x0)×(x-x0)
Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M0(x0;f(x0)):
y = f(x0) - 
,
используя условие перпендикулярности прямых: Kнорм = -
.