ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Точки разрыва функции и их классификация
Теоремы о непрерывных функциях
Теорема 8. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то функции с×f(x) (c=const), f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и 
, если g(x) ¹ 0, также непрерывны в точке x0.
Теорема 9. Если функция u=u(x) непрерывна в точке x0 и функция y=f(u) непрерывна в точке u0=u(x0), то сложная функция y=f(u(x)) непрерывна в точке x0.
Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.
Определение 5. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f(x).
Классификация точек разрыва
Определение 6. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x0 либо не определена, либо имеет значение f(x0), не совпадающее с найденным пределом:
f(x0-0)= f(x0+0) ¹ f(x0).
Определение 7. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, то есть:
f(x0-0) ¹f(x0+0).
Определение 8. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.
1. 
Решение. На промежутке (-∞;-1) f(x)= -x+1, на (-1;1) 
и на (1;+∞) f(x) = x-1.
На этих промежутках f(x) элементарная функция, непрерывна при всех x, принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в точках x= -1 и x=1.
1) 
2) 
Получили, что f(-1-0) ¹ f(-1+0) => x= -1 – точка разрыва f(x) I рода.
3) 
4) 
Получили, что f(1-0) = f(1+0) = f(1) = 0 => x = 1 – точка непрерывности функции f(x).
Ответ: f(x) непрерывна на (-∞;-1) и на (-1;+∞), точка x = -1 – точка разрыва I рода.
2.f(x) = 
Решение. На промежутках (-∞;0) и на (0;+∞) f(x) непрерывна. Исследуем точку x=0 Ï D(f).
1) 
2) 
=> x=0 – точка разрыва f(x) II рода.