Момент очередного отсчета определяется выполнением равенства 6 страница

Произведение указанных основных параметров канала связи принято называть объемом (емкостью) канала и обозначать V_K:

При оценке возможностей передачи сигнала по каналу с заданными физическими характеристиками также ограничиваются рассмотрением трех основных параметров сигнала: его длительности Т_с, ширины спектра F_c и превышения над помехой H_с, причем

где Р_u — средняя мощность передаваемого сигнала; Р— средняя мощность помехи в канале.

Превышение H_с связано с возможностями передатчика и дальностью передачи. Чем больше H_с, тем меньше вероятность ошибочного приема. Аналогично объему канала вводится понятие объема (емкости) V_c передаваемого сигнала:

Как объем сигнала, так и объем канала могут быть представлены в трехмерном пространстве с соответствующими координатами Т, F, Η (рис. 4.8).

Необходимым условием принципиальной возможности неискаженной передачи сигнала по данному каналу является выполнение соотношения

При этом, однако, могут потребоваться преобразования для обеспечения достаточных условий передачи, а именно:

Когда канал имеет меньшую полосу пропускания, чем практическая ширина спектра, подлежащего передаче сигнала, последнюю можно уменьшить за счет увеличения длительности сигнала. Объем сигнала при этом сохраняется неизменным. Практически такое преобразование можно осуществить, например, посредством записи сигнала на магнитную ленту с высокой скоростью и последующего воспроизведения со скоростью, при которой ширина его спектра равна полосе пропускания канала.

Если, наоборот, широкополосный канал предоставляется на время меньшее длительности сигнала, то согласование осуществляется за счет расширения спектра сигнала. Для реализации также может использоваться накопитель на магнитной ленте, однако в данном случае скорость воспроизведения должна быть выше скорости записи.

При низком допустимом уровне превышения сигнала в канале преобразование заключается в уменьшении уровня превышения передаваемого сигнала с одновременным увеличением его длительности путем многократного повторения передачи. Возможны и другие виды преобразования.

Рассмотрим, какова связь между объемом канала и количеством информации, которое можно получить о передаваемом по этому каналу сигнале.

В соответствии с выражением (4.37) предельное количество информации, которое может быть передано по каналу связи за время Т_к,

Отсюда следует, что если Р_u/Р>> 1, то при условии обеспечения посредством преобразования сигнала полного использования физических возможностей канала максимальное количество информации, которое можно получить о сигнале, близко к емкости канала:

§ 4.7. СОГЛАСОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ИСТОЧНИКА СООБЩЕНИЙ И КАНАЛА СВЯЗИ

Согласование статистических свойств и отражающих их информационных характеристик источника сообщений и канала связи проводится с целью улучшения качества системы передачи. Оценка качества осуществляется по трем основным показателям: достоверности, средней скорости передачи и сложности технической реализации системы, определяющей ее стоимость и надежность. Хотя с точки зрения практики сложность технической реализации может иметь решающее значение, при определении предельных возможностей системы целесообразно ограничиться только первыми двумя показателями.

Достоверность дискретного канала обычно оценивается значением вероятности ошибочного приема одного символа (элементарного сигнала). В случае передачи непрерывных сообщений о достоверности судят по значению среднеквадратической ошибки при воспроизведении сообщения

где w(t) — сообщение, поступающее с выхода канала; z(t) — сообщение на входе канала.

Достоверность характеризует помехоустойчивость информационной системы.

Под скоростью передачи подразумевают среднее количество информации, передаваемое по каналу в единицу времени. Именно эта (а не техническая) скорость формирования символов подлежит согласованию с пропускной способностью канала.

Скорость передачи информации характеризует эффективность системы.

Если высоких требований в отношении скорости передачи и достоверности к системе передачи не предъявляется, то согласование статистических (информационных) характеристик источника сообщений и канала связи не является принципиально необходимым.

При преобразовании сообщений в сигналы в этом случае могут преследоваться две основные цели. Одна из них заключается в том, чтобы преобразовать сообщения в такую систему символов (код), чтобы она обеспечивала простоту и надежность аппаратурной реализации информационных устройств и приемлемую их эффективность: простоту аппаратуры различения элементарных сигналов, соответствующих отдельным символам, приемлемое время при их передаче, простоту выполнения в этой системе арифметических и логических действий. Техническая реализация процесса кодирования в таком простейшем виде при непрерывном входном сигнале осуществляется аналого-цифровыми преобразователями.

Другой целью преобразования сообщений является защита их от несанкционированного доступа. Такое преобразование называют шифрованием. Оно может проводиться как на уровне знаков, так и на уровне символов.

В случае отсутствия необходимости в статистическом согласовании источника сообщений с каналом связи вопросы повышения качества функционирования системы решаются для дискретного канала от входа модулятора до выхода демодулятора.

Считается, что символы на вход модулятора поступают равновероятно и статистические связи между ними отсутствуют. Из множества сигналов, удовлетворяющих заданным ограничениям по мощности и полосе частот, для отображения символов отбираются такие, которые в предположении воздействия на них аддитивного гауссова шума обеспечивают наибольшую достоверность приема каждого отдельного символа. Одновременно определяется и структура оптимального приемника. Наиболее полно эти вопросы рассмотрены для случая двоичного канала (m = 2).

Увеличение эффективности и помехоустойчивости системы передачи информации, как показал Шеннон, возможно за счет введения в канал связи кодирующего, а следовательно, и декодирующего устройств, цель которых состоит в статистическом согласовании свойств источника сообщений и канала связи.

Доказанными им теоремами обосновано существование оптимального способа кодирования, при котором достигается скорость передачи информации, сколь угодно близкая к пропускной способности данного канала связи. Под способом кодирования при этом подразумевается совокупность операций по преобразованию сообщений в сигналы и обратного преобразования смеси сигнала с помехами в сообщения, включая операции в части канала «модулятор-демодулятор».

К сожалению, указанные теоремы не дают конструктивных рекомендаций относительно путей реализации оптимального способа кодирования. Определить соответствующую совокупность операций, а следовательно, и структуру оптимальной системы связи пока не удалось даже при ряде допущений, существенно упрощающих модели каналов. Для упрощения задачи переходят к оптимизации системы по частям путем нахождения наилучшего кода при условии оптимально спроектированной части канала «модулятор-демодулятор».

Выяснилась также целесообразность разделения процедур кодирования, обусловленных статистическими свойствами источника сообщений, и процедур кодирования, зависящих от статистических свойств канала связи. Такое разделение способствует лучшему пониманию существа процессов преобразования. С практической точки зрения оно ценно тем, что позволяет реализовать как кодирующее, так и декодирующее устройства из двух фактически независимых блоков: кодера КИ и декодера ДКИ источника и кодера КК и декодера ДКК канала. Уточненная структурная схема системы передачи дискретных сообщений показана на рис. 4.9.

Рассмотрим теперь особенности статистического согласования различных источников сообщений и каналов связи.

Предположим, что дискретные сообщения, поступающие с источника, обладают избыточностью, а вредным действием помех в канале можно пренебречь, что будет близко к реальности при отношении сигнал/помеха, значительно превышающем единицу. В этом случае учитывать проблему обеспечения помехоустойчивости нет необходимости и остается задача повышения эффективности.

В основной теореме Шеннона о кодировании для дискретного канала без помех утверждается, что посредством преобразования сообщений в статистически независимые и равновероятные символы можно повысить скорость передачи вплоть до пропускной способности этого канала (подробно о теореме и методах кодирования говорится в § 5.4).

Техническая реализация указанной возможности осуществляется кодером источника, обеспечивающим такое кодирование, при котором за счет устранения избыточности снижается среднее число символов, требующихся для выражения знака сообщения. При отсутствии помех это непосредственно дает выигрыш во времени передачи (или в объеме запоминающего устройства), что повышает эффективность системы. Поэтому такое кодирование получило название эффективного или оптимального.

При наличии помех в канале оно позволяет преобразовать входную информацию в последовательность символов, наилучшим образом (в смысле максимального сжатия) подготовленную для дальнейших преобразований.

При статистическом согласовании источника, формирующего дискретные сообщения, не обладающие избыточностью, с каналом, подверженным действию помехи, использование кодера источника не имеет смысла. Однако для повышения достоверности передачи сообщений при минимальном сокращении скорости передачи по каналу дополнительную избыточность необходимо ввести так, чтобы она максимально способствовала устранению вредного действия помехи с определенными статистическими свойствами.

Из теоремы Шеннона о кодировании для дискретного канала с помехами следует неожиданное и фундаментальное заключение о том, что помехи в канале не накладывают ограничений на достоверность передачи. Ограничение накладывается только на скорость передачи, при которой может быть достигнута сколь угодно высокая достоверность. Она не должна превышать пропускной способности дискретного канала с помехами. Количество избыточной информации, необходимое для обеспечения достоверной передачи безызбыточных сообщений, невелико и равно потерям информации в канале, обусловленным действием помехи.

Техническая реализация возможности существенного повышения достоверности передачи осуществляется кодером и декодером канала. Такое кодирование получило название помехоустойчивого. Подробному рассмотрению указанной теоремы и методов помехоустойчивого кодирования посвящена гл. 6.

В общем случае, когда источник формирует сообщения, обладающие избыточностью, и требуется передавать их по каналу с помехами, целесообразно ввести в канал как кодер (и декодер) источника, так и кодер (и декодер) канала.

Целесообразность устранения избыточности сообщений методами эффективного кодирования с последующим перекодированием помехоустойчивым кодом обусловлена тем, что избыточность источника сообщения в большинстве случаев не согласована со статистическими закономерностями помехи в канале связи и поэтому не может быть полностью использована для повышения достоверности принимаемого сообщения, тогда как обычно можно подобрать подходящий помехоустойчивый код. Кроме того, избыточность источника сообщений часто является следствием весьма сложных вероятностных зависимостей и позволяет обнаруживать и исправлять ошибки только после декодирования всего сообщения, пользуясь сложнейшими алгоритмами и интуицией.

Передача непрерывных сообщений по каналу без помех не рассматривается, поскольку в этом теоретическом случае проблема связи вообще не возникает. Одним импульсом, амплитуда которого на приемной стороне воспринимается с неограниченной точностью, может быть передано бесконечно большое количество информации, что с точки зрения практики абсурдно.

Несколько подробнее остановимся на статистическом согласовании источника непрерывных сообщений с непрерывным каналом, подверженным действию помех. Предельные возможности системы передачи в этом случае определяются следующей теоремой Шеннона:

если ε-производительность _ε(Ζ) источника непрерывных сообщений не превышает пропускной способности непрерывного канала С_н, то существует такой способ передачи, при котором с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, любое полученное сообщение будет отличаться от переданного только в пределах принятой оценки верности воспроизведения.

Утверждается также, что при такую передачу никаким способом обеспечить невозможно.

Не доказывая теорему, поясним возможность осуществления указанного в ней способа передачи, используя геометрическую форму представления сигналов.

Если сообщения должны воспроизводиться с определенной верностью, то из бесконечного множества непрерывных сообщений длительностью Т передавать необходимо только счетное подмножество воспроизводящих сообщений.

Процесс кодирования в этом случае заключается в отождествлении полученного от источника сообщения с ближайшим воспроизводящим и сопоставлении ему конкретного сигнала из множества разрешенных сигналов, специально подобранных для передачи с учетом действующей в канале помехи.

При декодировании полученный сигнал отождествляется с ближайшим разрешенным и ставится в соответствие воспроизводящему сообщению. Ошибки не произойдет, если конец вектора принятого сигнала в гильбертовом пространстве попадет в собственную область соответствующего разрешенного сигнала, размеры которой зависят от средней мощности помехи. Это накладывает ограничения на расстояния между концами векторов разрешенных сигналов. Таким образом, на поверхности гиперсферы, соответствующей определенному уровню средней мощности передаваемых сигналов, можно разместить только ограниченное число разрешенных сигналов. Оно и определяет предельную скорость передачи информации с обеспечением заданного уровня верности.

Поскольку обычно допускается возможность появления любого значения помехи, вероятность воспроизведения другого разрешенного сигнала остается конечной. Однако доказано [36], что она стремится к нулю при неограниченном увеличении длительности передаваемых сигналов.

Контрольные вопросы

1. Назовите основные информационные характеристики источника сообщений.

2. В чем сущность понятия эргодического источника сообщений?

3. Как вычислить энтропию дискретного источника сообщений с памятью?

4. Сформулируйте теорему об асимптотической равновероятности длинных последовательностей знаков.

5. Что понимают под избыточностью алфавита источника сообщений?

6. Каковы причины наличия избыточности в сообщении?

7. Определите производительность источника дискретных сообщений и укажите пути ее повышения.

8. Назовите основные характеристики дискретного канала.

9. Какие исходные данные необходимы для создания информационной модели канала с помехами?

10. Охарактеризуйте двоичный симметричный канал без памяти.

11. В чем различие между технической и информационной скоростями передачи?

12. Поясните сущность понятия пропускной способности канала.

13. Запишите выражения для пропускной способности дискретного канала с помехами и без помех.

14. Что понимают под ε-производительностью источника непрерывных сообщений?

15. Какие допущения приняты в модели, известной как гауссовый канал?

16. Как определяют скорость передачи информации и пропускную способность непрерывного канала?

17. Напишите и поясните выражение для пропускной способности гауссова канала.

18. Что подразумевается под объемом: а) сигнала? б) канала?

19. Определите условия неискаженной передачи сигнала по каналу.

20. Сформулируйте теорему Шеннона о кодировании для непрерывного канала с помехами.

21. Назовите основные цели кодирования.

ГЛАВА 5. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ БЕЗ ПОМЕХ

§ 5.1. КОДИРОВАНИЕ КАК ПРОЦЕСС ВЫРАЖЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ЦИФРОВОМ ВИДЕ

Любому дискретному сообщению или знаку сообщения можно приписать какой-либо порядковый номер. Измерение аналоговой величины, выражающееся в сравнении ее с образцовыми мерами, также приводит к числовому представлению информации. Передача или хранение сообщений при этом сводится к передаче или хранению чисел. Числа можно выразить в какой-либо системе счисления. Таким образом, будет получен один из кодов, основанный на данной системе счисления.

Сравним системы счисления и построенные на их основе коды с позиций применения в системах передачи, хранения и преобразования информации.

Общепризнанным в настоящее время является позиционный принцип образования системы счисления. Значение каждого символа (цифры) зависит от его положения — позиции в ряду символов, представляющих число.

Единица каждого следующего разряда больше единицы предыдущего разряда в m раз, где m — основание системы счисления. Полное число получаем, суммируя значения по разрядам:

где i — номер разряда данного числа; l — количество разрядов; a_i — множитель, принимающий любые целочисленные значения в пределах от 0 до m-1 и показывающий, сколько единиц ί-го разряда содержится в числе.

Чем больше основание системы счисления, тем меньшее число разрядов требуется для представления данного числа, а следовательно, и меньшее время для его передачи.

Однако с ростом основания существенно повышаются требования к линии связи и аппаратуре создания и распознавания элементарных сигналов, соответствующих различным символам. Логические элементы вычислительных устройств в этом случае должны иметь большее число устойчивых состояний.

Учитывая оба обстоятельства, целесообразно выбрать систему, обеспечивающую минимум произведения количества различных символов m на количество разрядов l для выражения любого числа. Найдем этот минимум по графику на рис. 5.1, где показана связь между величинами m и l при воспроизведении определенного достаточно большого числа Q (Q ≈ 60 000).

Из графика следует, что наиболее эффективной системой является троичная. Незначительно уступают ей двоичная и четверичная. Системы с основанием 10 и более существенно менее эффективны. Сравнивая эти системы с точки зрения удобства физической реализации соответствующих им логических элементов и простоты выполнения в них арифметических и логических действий, предпочтение необходимо отдать двоичной системе. Действительно, логические элементы, соответствующие этой системе, должны иметь всего два устойчивых состояния. Задача различения сигналов сводится в этом случае к задаче обнаружения (есть импульс или нет импульса), что значительно проще.

Арифметические и логические действия также наиболее просто осуществляются в двоичной системе. В таблицы сложения, вычитания и умножения входит всего по четыре равенства:

Правила Правила Правила

сложения: вычитания: умножения

Наиболее распространенная при кодировании и декодировании логическая операция — сложение по модулю. В двоичной системе она также наиболее проста и определяется равенствами:

Алгоритм перевода из двоичной в привычную для человека десятичную систему несложен. Пересчет начинается со старшего разряда. Если в следующем разделе стоит 0, то цифра предыдущего (высшего) разряда удваивается. Если же в следующем разряде единица, то после удвоения предыдущего разряда результат увеличивается на единицу.

Пример 5.1. Найдем десятичный эквивалент двоичного числа 1001. После первой единицы слева стоит 0. Удваиваем эту единицу. Получаем число 2. Цифрой следующего младшего разряда также является 0. Удваивая число 2, получаем 4. В самом младшем разряде стоит единица. Удваивая число 4 и прибавляя 1, окончательно получаем 9.

Итак, для передачи и проведения логических и арифметических операций наиболее целесообразен двоичный код. Однако он неудобен при вводе и выводе информации, так как трудно оперировать с непривычными двоичными числами. Кроме того, запись таких чисел на бумаге оказывается слишком громоздкой. Поэтому, помимо двоичной, получили распространение системы, которые, с одной стороны, легко сводятся как к двоичной, так и к десятичной системе, а с другой стороны, дают более компактную запись. К таким системам относятся восьмеричная, шестнадцатеричная и двоично-десятичная.

В восьмеричной системе для записи всех возможных чисел используется восемь цифр от 0 до 7 включительно. Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную крайне прост и сводится к замене каждой восьмеричной цифры равным ей трехразрядным числом. Например, для восьмеричного числа 754 получаем:

7 4 5

111 100 101

Поскольку в восьмеричной системе числа выражаются короче, чем в двоичной, она широко используется как вспомогательная система при программировании.

Чтобы сохранить преимущества двоичной системы и удобство десятичной системы, используют двоично-десятичные коды. В таком коде каждую цифру десятичного числа записывают в виде четырехразрядного двоичного числа (тетрады). С помощью четырех разрядов можно образовать 16 различных комбинаций, из которых любые 10 могут составить двоично-десятичный код. Наиболее целесообразным является код 8-4-2-1 (табл. 5.1). Этот код относится к числу взвешенных кодов. Цифры в названии кода означают вес единиц в соответствующих двоичных разрядах. Двоично-десятичный код обычно используется как промежуточный при введении в вычислительную машину данных, представленных в десятичном коде.

Таблица 5.1

В табл. 5.1 представлены два других двоично-десятичных кода с весами 5-1-2-1 и 2-4-2-1, которые широко используются при поразрядном уравновешивании в цифровых измерительных приборах.

Среди кодов, отходящих от систем счисления, большое практическое значение имеют такие, у которых при переходе от одного числа к другому изменение происходит только в одном разряде.

Наибольшее распространение получил код Грея, часто называемый циклическим или рефлексно - двоичным. Код Грея используется в технике аналого-цифрового преобразования, где он позволяет свести к единице младшего разряда ошибку неоднозначности при считывании. Комбинации кода Грея, соответствующие десятичным числам от 0 до 15, приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Правила перевода числа из кода Грея в обычный двоичный сводятся к следующему: первая единица со стороны старших разрядов остается без изменения, последующие цифры (0 и 1) остаются без изменения, если число единиц, им предшествующих, четно, инвертируются, если число единиц нечетно.

Пример 5.2.Выразим число 1010, записанное в коде Грея, в обычном двоичном коде.

Первую единицу слева переписываем. Следующая цифра будет единицей, так как в этом разряде кода Грея стоит нуль и впереди только одна единица. Далее необходимо записать нуль, так как в следующем разряде исходного числа стоит единица и впереди снова имеется только одна единица. Поскольку перед последней цифрой числа в коде Грея стоят две единицы, то она должна остаться неизменной, т. е. нулем. Таким образом, числу 1010 в коде Грея соответствует обычное двоичное число 1100.

§ 5.2. ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ЦИФРОВОЙ ФОРМЕ

Разновидности преобразователей. Устройства, позволяющие заменять непрерывную последовательность значений аналоговой величины конечным числом дискретных значений и представлять их в заданном коде, получили название аналого-кодовых преобразователей. Кодовые эквиваленты аналоговой величины могут быть представлены комбинациями состояний оптических, электромеханических, электронных и других элементов, а также параллельными или последовательными во времени комбинациями электрических импульсов.

В случае необходимости обработки информации посредством цифровых вычислительных машин, как правило, используются представления в двоичном коде.

В аналого-кодовых преобразователях, которые должны выдавать кодовые эквиваленты на систему цифровой индикации или на регистрирующее устройство, непосредственно используемое человеком, целесообразно применять представления в десятичном коде.

Аналого-кодовые преобразователи можно классифицировать по многим существенным признакам. Важнейшими из них являются принцип работы измерительной части преобразователя и способ получения цифрового эквивалента.

В принципе возможно непосредственное преобразование различных физических величин в цифровую форму. Такие преобразователи называют кодовыми датчиками. Примером могут служить цифровые преобразователи угла поворота вала (фазовые преобразователи угла).

Однако в настоящее время более рационально преобразовывать различные по физической природе сигналы в электрические, а затем представлять их в цифровой форме посредством преобразователей напряжение — код. Под термином «аналого-цифровой преобразователь» (АЦП) в первую очередь подразумевают именно такой преобразователь (напряжение — код).

Кодовые датчики геометрических координат. В таких датчиках в процессе преобразования определяется, какому месту на заранее заданном геометрическом пространственном рисунке (кодирующей маске) соответствует данный входной сигнал.

Кодирующую маску выполняют в виде прямоугольной пластины или диска. В последнем случае знаки разрядов нанесены на концентрические дорожки, каждая из которых соответствует определенному разряду двоичного числа. Внешняя дорожка диска соответствует низшему разряду (рис. 5.2). Итак, каждому дискретному значению угла ставится в соответствие вполне определенная неповторяющаяся комбинация сегментов двух типов, соответствующих 1 и 0.

Разрешающая способность диска определяется числом всех сегментов дорожки младшего разряда. Она может быть повышена применением системы нескольких дисков, соединенных с помощью понижающего редуктора. В зависимости от способа съема кода (контактный, фотоэлектрический, магнитный и т. д.) сегменты, составляющие рисунок кода, выполняют проводящими и непроводящими, прозрачными и непрозрачными, магнитопроницаемыми и магнитонепроницаемыми и т. д.

Для считывания с каждого из разрядов установлены чувствительные элементы: щетки, фотоэлементы, индуктивные катушки и т. д.

При опросе чувствительных элементов получаем комбинацию электрических сигналов, представляющую в выбранном коде число, соответствующее данному углу поворота. К сожалению, при использовании масок с обычным двоичным кодом в местах, где одновременно изменяется состояние нескольких чувствительных элементов, при считывании могут возникать значительные погрешности. Например, если чувствительные элементы располагаются на границе между числом 7 (0111) и 8 (1000), то преобразователь может выдать на выходе любое число от 0 до 15. Это, конечно, недопустимо.

Указанный недостаток может быть устранен как за счет увеличения числа чувствительных элементов (метод сдвоенных щеток, метод Баркера [26] ), так и путем использования масок с кодами, у которых при последовательном переходе от числа к числу изменяется только один разряд. Наиболее часто применяется код Грея. Кодирующая маска с кодом Грея изображена на рис. 5.3.

Нетрудно убедиться, что каждое последующее число отличается от предыдущего только в одном разряде, поэтому погрешность при считывании не может превосходить единицы младшего разряда независимо от того, в каком разряде имела место неопределенность.