Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Комбинаторика

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т.д. Так мастеру нужно распределить между рабочими различные виды работ, офицеру – выбрать из солдат взвода наряд и т. д. Так как в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами.

Даны два множества Х и Y, состоящие соответственно из k и m элементов. Сколькими способами можно составить пару (х,у), такую, что х?

Если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у – m способами, то пару (х,у) можно выбрать km способами.

Это правило носит название правила произведения. Оно же справедливо и для тройки, четверки и т.д. элементов.

Определение:произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! И называют «эн факториал»: n! = 1·2·3·…·(n – 1) ·n.

По-английски одно из значений слова «factor» - «множитель». Так что «эн факториал» примерно приводится как «состоящий из n множителей». Приведем несколько первых значений для n!:

 

Перестановки.

Пусть А – некоторое конечное множество, состоящее из n различных элементов:

А = {а1, а2, а3, …, аn}. Будем образовывать из этих элементов новые упорядоченные множества. В качестве первого возьмем множество, в котором элементы расположены в порядке возрастания их номеров (а1, а2, а3, …, аn). Второе множество можно образовать, поменяв местами элементы а1 и а2, а все остальные первого множества оставив на своих местах: (а2,а1,а3, …, аn). Аналогично можно строить и другие упорядоченные множества.

Всевозможные конечные упорядоченные множества, содержащие nразличных элементов, которые можно получить из некоторого неупорядоченного множества, состоящего из n различных элементов, называются перестановками из n элементов.

Перестановка есть не что иное, как способ упорядочивания элементов некоторого конечного множества.

Число перестановок из n элементов (которое обычно обозначают Рn) равно произведению n последовательных натуральных чисел, начиная с единицы.

Это произведение имеет специальное название n! (читается: n факториал):

Рn = 123….(n – 1)n = n!

Пустое множество можно упорядочить только одним способом;

поэтому 0! = 1.