Вопрос 18.4. Дифференцируемость сложной и обратной функции.
Вопрос 18.3. Правила дифференцирования.
Конец доказательства.
Если и две дифференцируемые в точке x функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) производная константы (функции, принимающей постоянные значения) равна нулю;
.
2) производная суммы двух функций и равна сумме их
3) производная разности двух функций и равна разности их
4) производная произведения двух функций и равна
5) производная отношения двух функций и равна
.
Докажите эти утверждения самостоятельно.
Теорема 18.5. (Дифференцируемость сложной функции). Пусть функция определена на интервале I и принимает значения из интервала I', а функция определена на интервале I', тогда если дифференцируема в точке x из интервала I, а дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке x и
.
Доказательство. Согласно определению производной
Пусть , тогда получим , если и следовательно
или .