Гармонические поля и их свойства

Определение гармонического векторного поля

Поле , являющееся одновременно и потенциальным и соленоидальным, называется гармоническим векторным полем: и .

Основные свойства гармонических полей

1. Потенциал гармонического поля удоволетворяет уравнению Лапласа: , где - оператор Лапласа

w Действительно, так как — потенциальное Þ Так как поле соленоидальное, то v

2. Можно показать, что произвольное векторное поле всегда может быть представлено в виде суммы двух векторных полей, одно из которых – потенциально, а другое — соленоидально.

Пример 3 (определение гармоничности векторного поля)

Проверить, являются ли гармоническими следующие поля:

; ; .

Решение

Признаком потенциальности векторного поля является равенство нулю его ротора.

Векторное поле является гармоническим, так как и (вычислялись в предыдущих примерах этого параграфа).

Для поля имеем, что , , поэтому поле не является гармоническим.

Для поля имеем , поэтому это поле не является гармоническим.