Основные свойства циркуляции

1. Циркуляция векторного поля – это скалярная величина, которая является интегральной характеристикой поля; она указывает на способность векторного поля совершать работу при перемещении по замкнутым траекториям.

2. Циркуляция зависит от направления на контуре , так как . Следовательно, при изменении направления обхода контура циркуляция меняет знак на противоположный.

3. Если по любому замкнутому контуру , то .

По теореме, в которой указываются необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования, имеем, что равенство нулю такого интеграла по любому замкнутому контуру эквивалентно существованию функции , такой что подынтегральное выражение является ее полным дифференциалом:

Таким образом, если по любому замкнутому контуру , то это означает, что существует скалярная функция , такая что .

Функция называется потенциалом векторного поля , а поле в этом случае называется потенциальным векторным полем.

Так как существование функции , такой что , является и достаточным условием для того, чтобы , то получается что циркуляция в потенциальном поле всегда равна нулю.

4. Циркуляция связана с ротором с помощью формулы Стокса:

,

формула Стокса в векторной форме имеет вид

(3)

Смысл формулы Стоксатеперь легко прочитывается:

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого векторного поля через произвольную поверхность , опирающуюся на контур .

При этом направление на и направление на контуре образуют “правую систему”, то есть с конца вектора направление на контуре видно против часовой стрелки.

Из формулы Стокса (3) следует, что означает способность векторного поля совершать работу при перемещении материальной точки по замкнутому контуру .

5. Используя формулу Стокса в векторной форме, можно дать другое (физическое) определение ротора векторного поля, эквивалентное первому определению: и не зависящее от выбора координатной системы. Для этого запишем формулу Стокса для достаточно малой плоской площадки S c контуром , содержащей точку M:

Поверхностный интеграл в правой части формулы Стокса можно записать по теореме о среднем в следующем виде: , где — некоторая точка площадки S, площадь площадки тоже обозначена буквой S.

Тогда из формулы Стокса следует, что ,

(*)

где l – это контур, ограничивающий площадку S.

Пусть теперь контур стягивается в точку M, тогда и Переходя к пределу при этих условиях, в равенстве (*) получаем, что

(4)

Теперь формулируем определение ротора векторного поля, которое основано на формуле (4):

Определение ротора векторного поля через его циркуляцию

Ротор вектора в точке M – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки, стягивающейся в точку.