Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков

Векторными дифференциальными операциями первого порядка называются три рассмотренные действия с оператором «набла»:

.

Векторными дифференциальными операциями второго порядка называются следующие пять операций:

1. ,

где — это оператор Лапласа . (4)

2. ,

так как

3. ,

так как

По рассмотренным операциям можно заметить, что при действиях с векторным дифференциальным оператором нужно пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

Аналогия в действиях с оператором действиям векторной алгебры показана в следующей таблице:

	Действия с векторами	Действия с векторным оператором
1.	Скалярный квадрат вектора
2.	Векторный квадрат вектора
3.	Смешанное произведение трех векторов
4.	Двойное векторное произведение

Используя эту аналогию и правило вычисления двойного векторного произведения запишем результат следующей векторной дифференциальной операции второго порядка.

4.

,

(7)

Здесь — это векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к каждой проекции вектора .

Таким образом получена еще одна формула:

5.

, причем

(8)

Эта операция используется в формуле (7).

Примеры (вычисления дифференциальных векторных операций)

1. Дано скалярное поле .

Вычислить 1) ; 2) ; 3) ;

Решение

1) ;

2)

;

3) .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

2. Дано векторное поле .

Вычислить 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение

1) ;

;

2)

=;

3);

4)

.

Ответ: 1) ; ; 2) ;

3) ; 4) .