Свойства потока

1. Поток — это интегральная характеристика векторного поля, является скалярной величиной.

2. зависит от направления нормали к поверхности : если изменить направление на противоположное, то изменит знак.

3. Если поток вычисляется по замкнутой поверхности в направлении ее внешней нормали: , (Рис. 26), то его величина имеет следующие истолкования:

§ если , то говорят, что внутри поверхности источники и стоки поля уравновешивают друг друга;

§ если , то говорят, что внутри поверхности преобладают источники поля ;

§ если , то говорят, что внутри поверхности преобладают стоки поля .

4. Можно вывести удобные формулы для вычисления :

если поверхность задана уравнением , то вектор ее нормали в любой точке равен Þ единичный вектор нормали равен

Þ

(4)

«+» брать в случае, когда вектор и вектор , указанный в задаче, совпадают по направлению; «-», если эти векторы противоположны.

Для вычисления поверхностного интеграла (4) поверхность проектируют на одну из координатных плоскостей, например в область . Тогда

, где Þ

(4')

Примеры 2 (вычисление потока векторного поля)

1. Дано векторное поле . Вычислить поток вектора через часть поверхности сфера , расположенную в I октанте, в направлении нормали, образующей острый угол с осью .

Решение

; : . . При в I октанте образует острый угол с , поэтому в формуле (4) надо брать знак «+»

.

2. Вычислить поток радиус-вектора точки через поверхность цилиндра радиуса и высоты , стоящего на плоскости так, что ось является его осью симметрии. Направление нормали — внешнее.

Решение

, где — поток через боковую поверхность; — поток через верхнее основание; — поток через нижнее основание.   .

;

;

.

.

Так как получилось , то внутри цилиндра находятся источники данного векторного поля.

Таким образом, вычисление потока векторного поля через заданную поверхность можно проводить как по формуле (4), так и непосредственно по его определению.