Формула Стокса

Формула Стокса связывает интеграл по поверхности (s) с криволинейным интегралом по замкнутому контуру (l), ограничивающему эту поверхность, и имеет следующий вид:

(3)

Формула Стокса

В двумерном случае формула Стокса совпадает с формулой Грина:

За положительное направление нормали к поверхности (s) берется такое направление, чтобы с конца обход по контуру l, оставляющий поверхность слева, был виден против часовой стрелки (Рис. 23).

, так как ,

, (Рис. 24)

Формула Остроградского-Гаусса

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности (s) и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью (Рис. 25):

(4)

Нормаль к поверхности (s) проводится по внешней стороне поверхности.

Пример 2 (вычисление поверхностного интеграла II рода по формуле Остроградского-Гаусса)

Вычислить значение ,

где (s) — внешняя сторона сферы x² + y² + z² = 1.

Решение

В данном интеграле

.

По формуле Остроградского-Гаусса получаем, что .