Вычисление поверхностного интеграла II рода

Сформулируйте достаточные условия существования поверхностного интеграла II рода)

9.

8.

7.

6.

Для того, чтобы поверхностный интеграл существовал, достаточно выполнение двух условий: 1) векторная функция имеет непрерывные проекции , , в каждой точке поверхности ; 2) поверхность является ограниченной, двусторонней и имеет в каждой своей точке ненулевой вектор нормали , или, что то же, имеет в каждой своей точке касательную плоскость.

Вычисление поверхностного интеграла II рода в форме (2) можно проводить от каждого слагаемого в отдельности сведением к двойному интегралу по проекции поверхности (s) на соответствующую координатную плоскость:

1.

берется знак “+” , если , или берется знак “–“, если ;

функцию x = x(y,z) нужно взять из уравнения, описывающего поверхность (s ).

2.

берется знак ”+”, если , или берется знак “–“, если ;

функцию y = y(x,z) нужно взять из уравнения поверхности (s ).

3.

берется знак “+”, если , или берется знак “–“, если ;

функцию z = z(x,y) нужно взять из уравнения поверхности (s ) .

Если же на поверхности (s ) хорошо записывается единичный вектор нормали , то криволинейный интеграл II рода проще вычислить в форме (1), так как в этом случае применяется правило вычисления поверхностного интеграла I рода (см. формулу (2) предыдущего параграфа).

Примеры 1 (вычисления поверхностных интегралов II рода)

1. Вычислить ,

где (s) — это внешняя часть сферы x² + y² + z² = 1, заключенная в I октанте.

Решение

	На внешней стороне сферы в I октанте углы a,b,g принадлежат промежутку [0;p/2], поэтому являются неотрицательными. На каждую из координатных плоскостей указанная часть сферы проектируется в четверть круга радиуса 1. Вычисляем интеграл от каждого слагаемого в отдельности:
.

2. Вычислить , где s — внешняя сторона сферы x² + y² + z² = 1.

Решение — на верхней полусфере, — на нижней полусфере. I = Iпо верхней полусфере + Iпо нижней полусфере =