Определение и физическая трактовка поверхностного интеграла II рода

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

1. Вычисление площади поверхности (s):

(3)

Вычисление площади поверхности

2. Вычисление массы поверхности (s), если известна поверхностная плотность распределения масс:

(4)

Вычисление массы поверхности

Другие механические приложения (вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра масс поверхности) осуществляются аналогично приложениям двойных и тройных интегралов.

Студентам рекомендуется составить формулы этих приложений.

Примеры 2 (приложения поверхностного интеграла I рода)

1. Найти площадь поверхности части параболоида z = x² + y² при z £ 4.

Решение

Строим поверхность (s) – указанную часть параболоида и проецируем ее на область плоскости ХОУ:

в полярных координатах:

Решение

Ответ: (ед. площади)

2. Вычислить массу поверхности куба, на котором , , , если поверхностная плотность в точке равна .

Решение

Масса каждой из трех граней куба, лежащих в координатных плоскостях, равна нулю, так как на каждой из этих граней равна нулю одна из координат , или , поэтому равна нулю плотность распределения массы: , если или или .

Остается вычислить массы трех граней куба, не лежащих в координатных плоскостях:

;

.

Ответ: 0,75 (единиц массы).

3. Вычислить момент инерции части боковой поверхности конуса , относительно оси OZ, если поверхностная плотность материала является постоянной.

Решение

Если на боковой поверхности конуса (s) взять бесконечно малый элемент поверхности и точку на нем, то его расстояние до оси OZ будет равным .

Тогда момент инерции этого элемента относительно оси OZ будет равен

.

Момент инерции относительно OZ всей поверхности (s) получится как поверхностный интеграл I рода:

.

Вычислим составленный поверхностный интеграл сведением его к двойному интегралу по области , являющейся проекцией поверхности (s) на координатную плоскость :

.

Ответ: (единиц момента инерции).

§11. Поверхностные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса

Содержание

11.1. Определение и физическая трактовка поверхностного интеграла II рода 85

11.2. Основные свойства поверхностного интеграла II рода: 87

11.3. Вычисление поверхностного интеграла II рода. 88

Определение поверхностного интеграла II рода

В каждой точке поверхности (s ) вводится единичный вектор нормали и рассматривается вектор-функция , заданная своими проекциями на оси координат: . Разбив поверхность (s) на элементарные части с площадями , i = 1,2,...,k и заменив эти части поверхности касательными плоскостями к ним, вычислим следующие парные произведения: . Каждое из этих парных произведений имеет смысл потока вектора через часть поверхности в направлении указанной нормали (Рис. 20).   Вычисляя сумму составленных парных произведений и ее предел при (, - диаметр i-той части разбиения), получим определение поверхностного интеграла II рода: (1)

Как и при определении всех предыдущих интегралов, здесь предполагается, что предел существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения поверхности (s) на элементарные части, ни от выбора точки на каждой элементарной части. Кроме этого предполагается, что поверхность (s) является двухсторонней и в каждой ее точке существует вектор нормали .

Определенный равенством (1) интеграл по поверхности (s) можно записать более кратко в векторной форме:

(1')

где – это скалярное произведение векторов и .

Очевидно, что при положительных направляющих косинусах будут выполняться равенства:

(см. пояснение к формуле (2) предыдущего параграфа).

Поэтому существует еще одна форма записи поверхностного интеграла II рода:

(2)

При этом подинтегральное выражение в правой части принято записывать без скобок