Условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования

Содержание

8.1. Формулировка и доказательство теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в двумерном случае. 65

8.2. Формулировка теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в трехмерном случае. 68

Из физики известно, что существуют такие силовые поля, в которых работа по перемещению материальной точки из одного положения в другое не зависит от формы траектории перемещения, а зависит только от начальной и конечной точек на этой траектории. Например,

1) работа по преодолению силы тяжести вычисляется по формуле ,

где h – это высота, на которую нужно поднять материальную точку массой m (g –ускорение свободного падения); эта формула остается неизменной независимо от того, поднимаем ли точку на высоту h по вертикали или по какой-то иной траектории;

2) работа по перемещению точечного заряда в электростатическом силовом поле вычисляется как разность значений потенциала этого поля в конечной и в начальной точках перемещения, следовательно, не зависит от формы перемещения.

Поскольку криволинейный интеграл II рода

имеет физическую трактовку работы, совершаемой переменной силой на криволинейном перемещении (AB), то должны быть случаи, когда этот криволинейный интеграл не зависит от формы линии интегрирования (AB). Эти случаи имеют важное значение в приложениях и выделяются следующей теоремой, которую мы сначала разберем для более простого – двумерного криволинейного интеграла II рода, а затем обобщим на трехмерный криволинейный интеграл II рода.