Вывод формулы Грина

Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода

Содержание

7.1. Вывод формулы Грина. 58

7.2. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 62

Формула Грина Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом II рода по границе этой области и имеет следующий вид:

Формула Грина (1)

Направление на l берется против часовой стрелки, так что область D остается слева при обходе ее по контуру l; так ориентированный замкнутый контур обозначается l + , (Рис. 15).

Доказательство

w Пусть область D является правильной в направлении обеих координатных осей, а функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в замкнутой области D.

Запишем область D неравенствами и рассмотрим двойные интегралы по D от каждого слагаемого в левой части формулы Грина (Рис. 16).

Для двойного интеграла от второго слагаемого область D запишем неравенствами так, что в постоянных пределах будет переменная x, и сведем двойной интеграл к повторному:

воспользуемся формулой (7') предыдущего параграфа и перейдем от определенных интегралов по x к криволинейным интегралам по линиям l₁ и l₂, далее учтем направление на этих линиях

.

В этих преобразованиях учтены следующие свойства криволинейного интеграла II рода: изменение его знака при изменении направления на линии интегрирования и его аддитивность по линии интегрирования.

Таким образом, доказано, что

(2)
Теперь в формуле (1) рассмотрим двойной интеграл от первого слагаемого и для сведения его к повторному интегралу запишем область D неравенствами так, что в постоянных пределах изменяется переменная y (Рис. 16):

воспользуемся формулой (7'') предыдущего параграфа и перейдем от определенных интегралов по переменной y к криволинейным интегралам по линиям l₄ и l₃ и далее учтем направления на этих линиях

.

Здесь также применялись упомянутые выше свойства криволинейного интеграла II рода.

Таким образом доказано, что

(3)
Сложением равенств (2) и (3) получается следующая формула:

Отсюда по свойствам линейности относительно подинтегральных выражений криволинейных и двойных интегралов получаем равенство (1):

Если область D не является правильной в направлениях осей OX и OY, то ее можно разбить на правильные части.

Например, рассмотрим область D, неправильную в направлении оси Ox, и разделим её на две правильные части линией l*: D = D₁ÈD₂,

граница D1: ; граница D2: , граница , (Рис. 17) Затем используем свойство аддитивности двойного и криволинейного интегралов и уже указанную формулу Грина для правильной области:

так как криволинейный интеграл по линии раздела (L*) берется дважды в противоположных направлениях, следовательно, он равен 0. Таким образом, формула Грина справедлива для любой замкнутой области D.v

Формула Грина имеет теоретическое значение и будет использована, например, в следующем параграфе для вывода необходимых и достаточных условий независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования. На практике формулу Грина можно использовать для сведения криволинейных интегралов II рода по замкнутому контуру к двойным интергалам по области, ограниченной этим контуром.

Обобщением формулы Грина на трехмерный случай является формула Стокса, которая будет рассморена далее в этой теме.

Примеры1 (использование формулы Грина)

1. Вычислить криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру

, где l – это окружность , проходимая против часовой стрелки.

Решение

Данный интеграл по замкнутому контуру легко сводится к двойному интегралу по области, ограниченной этим контуром: , ,

вычисляем двойной интеграл по кругу в полярных координатах

.

2. С помощью формулы Грина вычислить разность интегралов I₁ – I₂, если , ,

где - отрезок прямой, соединяющей точки и ,

- дуга параболы , соединяющей те же точки.

Решение

Сделаем чертеж к задаче и заметим, что интегралы I₁ и I₂ имеют одинаковые подинтегральные выражения, что позволяет разность этих интегралов свести к интегралу по замкнутому контуру:

Теперь применяем формулу Грина криволинейному интегралу по замкнутому контуру, проходившему в положительном направлении, и далее вычисляем получившийся двойной интеграл:

Ответ: .