Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок
Чтобы вычислить механические характеристики тонких пластинок, занимающих область DÌXOY, (массу, статические моменты, моменты инерции), нужно заметить, что все эти величины являются аддитивными, и применить общую методику приложений интегрального исчисления. |
Сначала нужно вспомнить простейшие формулы из физики:
1) | - так вычислить массу пластинки, площадь которой , а поверхностная плотность материала является постоянной величиной; | |
2) | если точечная масса расположена на расстоянии от оси , то её статический момент относительно оси вычисляется по формуле ; | |
при этом точки, расположенные по разные стороны от прямой , имеют статические моменты разных знаков; | ||
3) | момент инерции точечной массы относительно оси вычисляется по формуле , а относительно некоторой точки - по формуле , где - это расстояние от материальной точки до точки . |
Эти формулы нельзя применить к вычислению массы или моментов всей пластинки, занимающей конечную часть плоскости, так как есть неоднородность или по плотности или по расстояниям и для различных точек пластинки.
В соответствии с методикой приложения интегрального исчисления, разбиваем область D, занятую пластинкой, на малые (элементарные) части и составляем формулу для элементарного слагаемого искомой характеристики (Рис. 11), используя физические упрощения (например, можно считать каждую элементарную часть однородной или заменить её точечной массой). Затем суммируем все элементарные слагаемые и переходим к пределу при условии, что все элементарные части неограниченно измельчаются, убирая этим погрешность, допущенную при составлении элементарных слагаемых. В результате выходим на определение двойного интеграла по области D от некоторой функции координат x, y:
,
где - это элементарная площадь
- это элементарное слагаемое величины , аддитивной по области D .
Формула для вычисления массы неоднородной пластинки имеющей поверхностную плотность :
каждую элементарную часть пластинки считаем однородной, тогда
(4) |
Формула для вычисления статических моментов тонких пластинок относительно координатных осей:
считаем каждую элементарную часть точечной массой; тогда
(5) | |
Статический момент пластинки относительно оси Oy Статический момент тонкой пластинки относительно оси Ox | (6) |
Формулы для вычисления моментов инерции тонких пластинок относительно координатных осей:
(7) | |
(8) |
Формула для вычислеия момента инерции пластинки относительно точки начала координат:
(9) |
Примеры 3 (вычисление механических характеристик тонких пластинок)
1. | Вычислить массу тонкого кольца, занимающего область D: , если поверхностная плотность материала в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния от этой точки до начала координат и в точке равна 1. |
Решение
Составляем формулу для плотности: , -коэффициент пропорциональности , так как ; если , то , то ; окончательно получаем, что . |
Составляем формулу для массы кольца аналогично тому, как была составлена формула (4):
.
Теперь вычисляем двойной интеграл в полярных координатах:
,
Ответ: (единиц массы).
2. | Вычислить момент инерции I однородного квадрата со стороной a относительно его вершины. |
Решение
Поместив квадрат в систему XOY, составляем формулу для искомого момента инерции: , где |
Теперь вычисляем двойной интеграл в декартовых координатах, записав область D неравенствамии учитывая, что :
Ответ: (единиц момента инерции).