Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок
Чтобы вычислить механические характеристики тонких пластинок, занимающих область DÌXOY, (массу, статические моменты, моменты инерции), нужно заметить, что все эти величины являются аддитивными, и применить общую методику приложений интегрального исчисления. | ![]() |
Сначала нужно вспомнить простейшие формулы из физики:
1) | ![]() | - так вычислить массу ![]() ![]() ![]() |
2) | ![]() | если точечная масса ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
при этом точки, расположенные по разные стороны от прямой ![]() | ||
3) | момент инерции точечной массы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Эти формулы нельзя применить к вычислению массы или моментов всей пластинки, занимающей конечную часть плоскости, так как есть неоднородность или по плотности или по расстояниям
и
для различных точек пластинки.
В соответствии с методикой приложения интегрального исчисления, разбиваем область D, занятую пластинкой, на малые (элементарные) части и составляем формулу для элементарного слагаемого искомой характеристики (Рис. 11), используя физические упрощения (например, можно считать каждую элементарную часть однородной или заменить её точечной массой). Затем суммируем все элементарные слагаемые и переходим к пределу при условии, что все элементарные части неограниченно измельчаются, убирая этим погрешность, допущенную при составлении элементарных слагаемых. В результате выходим на определение двойного интеграла по области D от некоторой функции координат x, y:
,
где - это элементарная площадь
- это элементарное слагаемое величины
, аддитивной по области D .
Формула для вычисления массы неоднородной пластинки имеющей поверхностную плотность :
каждую элементарную часть пластинки считаем однородной, тогда
![]() | (4) |
Формула для вычисления статических моментов тонких пластинок относительно координатных осей:
считаем каждую элементарную часть точечной массой; тогда
![]() | (5) |
![]() | (6) |
Формулы для вычисления моментов инерции тонких пластинок относительно координатных осей:
![]() | (7) |
![]() | (8) |
Формула для вычислеия момента инерции пластинки относительно точки начала координат:
![]() | (9) |
Примеры 3 (вычисление механических характеристик тонких пластинок)
1. | Вычислить массу тонкого кольца, занимающего область D: ![]() ![]() ![]() |
Решение
![]() | Составляем формулу для плотности:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Составляем формулу для массы кольца аналогично тому, как была составлена формула (4):
.
Теперь вычисляем двойной интеграл в полярных координатах:
,
Ответ: (единиц массы).
2. | Вычислить момент инерции I однородного квадрата со стороной a относительно его вершины. |
Решение
![]() | Поместив квадрат в систему XOY, составляем формулу для искомого момента инерции: ![]() ![]() ![]() ![]() |
Теперь вычисляем двойной интеграл в декартовых координатах, записав область D неравенствамии учитывая, что
:
Ответ:
(единиц момента инерции).