Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

С помощью двойного интеграла, если воспользоваться его геометрической трактовкой, можно вычислить объем цилиндроида; формула для вычисления объема цилиндроида имеет вид:

, Объем цилиндроида	(2)
где функция задает поверхность, ограничивающую цилиндроид сверху (Рис. 9) Более общая формула для вычисления объема тела с помощью двойного интеграла имеет вид:
	(3)

Она получается как разность объемов двух цилиндроидов (Рис. 10).

Объемы других тел вычисляются двойным интегралом только в случаях, когда эти объемы представляются как сумма или разность объемов цилиндроидов.

Напомним, что цилиндроидом называется геометрическое тело, которое в координатной системе XOYZ ограничено снизу областью , сверху – частью некоторой поверхности , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Пример 2 (вычисление объема с помощью двойного интеграла)

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

1 – z = x² + y², x = 0, y = 0, z = 0, где и .
Решение

Построив данное тело как ограниченное параболоидом и координатными плоскостями, находящееся в I октанте, видим, что оно является цилиндроидом, поэтому его объем вычисляем по формуле (2):

Так как область ограничена частью окружности, то двойной интеграл по ней проще вычислить в полярных координатах; тогда ,

==>

Ответ: V = p/8»0,4 (единиц объема).