Вычисление площади плоской фигуры, занимающей область D

Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и механики

Содержание

4.1. Вычисление площади плоской фигуры, занимающей область D.. 29

4.2. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла. 30

4.3. Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок 31

4.4. Координаты центра масс пластинки.. 34

4.5. Приложения тройных интегралов. 36

Если плоская фигура занимает область DXOY, то ее площадь может быть вычислена с помощью двойного интеграла по его свойству о значении двойного интеграла от функции, тождественно равной единице на области интегрирования. В результате получается формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла:

(1)

Пример 1 (вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла)

Вычислить площадь фигуры, занимающей область D, ограниченную линиями

x = y² и x + y = 2.

Решение

Строим область D и записываем ее системой неравенств:

По формуле (1) вычисляем площадь: Ответ: SD = 4,5 (единиц площади).