Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

Сферические координаты точки М пространства XOYZ определяются следующим образом (Рис. 8):

r — расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки); r называют сферическим радиусом точки; q — угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;

j — угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).

Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:

или ,

Связь сферических и декартовых координат (выводится геометрически):

Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:

,

I — это функциональный определитель Якоби третьего порядка:

, так как поэтому .

Таким образом, .

Бесконечно малый элемент объема в сферических координатах имеет вид: ;

формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам имеет вид:

(3)

Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.

Пример 3 (вычисление тройного интеграла в сферических координатах)

Вычислить , где

Решение Область представляет собой верхнюю половину шара радиуса 2 с центром в начале координат. Запишем неравенствами область V в сферических координатах:

Переводим данный тройной интеграл в сферические координаты по формуле (3) и сводим его к трехкратному интегралу в соответствии с системой неравенств: