Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты точки в пространстве XOYZ— это ее полярные координаты в плоскости XOY и координата z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Границы изменения цилиндрических координат для всех точек пространства: или

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение его к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующими действиями:

объем V, правильный в направлении оси OZ, проектируется в область и записывается системой неравенств:

;

далее область записывается неравенствами в полярной системе координат (Рис. 7) и составляется бесконечно малый элемент плоской области в полярных координатах:

, ;

в подынтегральной функции и в пределах интегрирования по z делается переход к переменным и :

Если выполнить все указанные подстановки, то получится формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах:

(2)

Таким образом, бесконечно Формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах малый элемент объема в цилиндрических координатах получается следующим:

Пример 2 (вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах)

Вычислить , если область V ограничена поверхностями

.

Решение

Строим область V и записываем её системой неравенств в цилиндрических

координатах:

Теперь сводим тройной интеграл к трехкратному в соответствии с системой неравенств и вычисляем его:

.