Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла.

(Как вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах?)

В декартовых координатах область V, правильная в направлении оси OZ, записывается системой неравенств

,

где D – это проекция области V на плоскость XOY, а поверхностии ограничивают область V соответственно снизу и сверху (Рис. 6).

Если двумерную область D также записать системой неравенств , то трехмерная область V запишется системой трех неравенств

Тогда тройной интеграл сводится сначала к двойному, а затем к трёхкратному с учётом того, что в декартовых координатах dV = dx×dy×dz;

формула сведения тройного интеграла к трехкратному интегралу имеет следующий вид:

(1)

Формула сведения тройного интеграла к трехкратному

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).

Пример 1 (вычисление тройного интеграла в декартовых координатах)

Вычислить , где область V ограничена поверхностями .

Решение

Запишем область V системой трёх неравенств:

Сводим тройной интеграл к трехкратному по формуле (1) в соответствии с системой

неравенств и вычисляем трехкратный интеграл:

.