Определение тройного интеграла и его основные свойства

Определение тройного интеграла
    Пусть задана область VÌXOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V и на ее границе задана функция f (x,y,z).  

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

Тройной интеграл

здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;
Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,

i = 1,...,n;

— ранг разбиения;
– диаметр i-ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла (Сформулируйте достаточное условие существования тройного интеграла)

Если функция f (x,y,z) непрерывная в замкнутой области V, то существует.

Механическая трактовка тройного интеграла (В чем состоит механическая трактовка тройного интеграла)

Если f (x,y,z) ³ 0 — это объемная плотность распределения вещества в области V, то — это масса всего вещества в трехмерной области V.

 

Основные свойства тройного интеграла (Сформулируйте основные свойства тройного интеграла)

Аналогичны свойствам определенного интеграла по отрезку и двойного интеграла по области D.

 

Свойство 1 (линейность тройного интеграла по подынтегральной функции)

 

,

где — постоянные множители по x, y, z.

 

Свойство 2 (аддитивность тройного интеграла по области интегрирования)

 

Если V = V1 È V2, то .

 

Свойство 3 (о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице)

 

Если подынтегральная функция f(x,y,z) º 1 для , то тройной интеграл от неё по области V равен объему (мере) области интегрирования:

(здесь область V и её объём V обозначены одной буквой).


Свойство 4 (оценки значения тройного интеграла)

 

Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в замкнутой области V, то

Если |f(x,y,z)|при "(x,y,z)ÎV, то

 

Свойство 5 (теорема о среднем значении подынтегральной функции)

 

Если функция f (x,y,z) непрерывна в области V, то существует хотя бы одна точка P0(x0;y0;z0)ÎV такая, что

При этом число называется средним значением

функции f(x,y,z) по области V.