Методические указания к выполнению типового расчета

Занятие 5.

Занятие 4.

Занятие 3.

Занятие 2.

1. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой.

2. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми.

3. Угол между прямыми.

Задачи:

Домашнее задание:

1. Кривые второго порядка. Классификация кривых.

2. Окружность. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Характеристическое свойство. Эксцентриситет.

3. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Характеристическое свойство гиперболы. Уравнение асимптот. Эксцентриситет.

4. Парабола. Фокус и директриса параболы. Характеристическое свойство.

Задачи:

Домашнее задание:

1) Плоскость. Разные виды уравнений плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

2) Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Взаимное расположение прямой в пространстве.

3) Взаимное расположение прямой и плоскости.

Задачи:

Домашнее задание

1. Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

2. Поверхности второго порядка. Классификация поверхностей.

3. Определение формы поверхностей.

Задачи:

Домашнее задание:

Задача 4.1. Верно ли, что точки А, В, С находятся на одной прямой? Найти отношение АВ:ВС, где А(5;1), В(9;5), С(1;-3).

Решение:

1 способ: Составим уравнение прямой АВ

АВ: Þ

АВ: x-y-4=0.

Проверим, принадлежит ли точка С(1;-3) прямой АВ:

1-(-3)-4=0 (координаты точки удовлетворяют уравнению прямой) Þ точки А, В, С лежат на одной прямой.

Найдем длину отрезков:

Вычислим .

2 способ: , найдем отношение координат векторов

и .

Ответ: Точки принадлежат прямой l: x-y-4=0, .

Задача 4.2. Даны вершины треугольника АВС: А(-5;3), В(7;-6), С(5;8).

Найти :

а) уравнение сторон АВ, ВС, АС и их длины;

б) уравнение и длину медианы АМ;

в) уравнение и длину высоты ВD;

г) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно АВ;

д) координаты центра тяжести треугольника;

е) угол А;

ж) уравнение окружности, для которого высота СН есть диаметр.

Решение:

а)

б) Найдем координаты точки М:

точка М середина ВС Þ ,

Þ .

в) BD – высота треугольника АВС BD ^ AC Þ

где B=(x_B; y_B)=(7;-6).

AC: x-2y+11=0.

AC ^ BD Þ ,

B(7;-6)ÎBD

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку, перпендикулярную вектору

BD: A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

BD: 2(x-7)+1(y-(-6))=0

BD: 2x+y-8=0.

г) Составим уравнение прямой а, удовлетворяющей условиям

a|| AB и C(5;8)a

, где - направляющий вектор АВ

д) Найдем координаты центра тяжести треугольника АВС – точки пересечения медиан треугольника:

1 способ:

Составим уравнение медианы ВМ₁:

М₁ – середина АС Û

BM₁: 11,5x+7y-38,5=0.

Координаты точки М₀(x₀; y₀) найдем из системы:

Þ , Þ .

2 способ:

По свойству медиан треугольника: . Тогда используя формулы деления отрезка в данном отношении, получаем:

е) Вычислим

ж) Найдем уравнение высоты СН

С(5;8)СН

СН ^ AB Þ

Координаты точки Н(x₀;y₀)=найдем из системы .

Р – середина СН Þ

Найдем радиус окружности:

Таким образом, центр окружности Р(2;4), радиус . Уравнение окружности .

Ответ: а) АВ: 3x+4y+3=0, АС: x-2y+11=0, ВС: 7x+y-43=0,

|AB|=15, |AC|=, |BC|=.

б) АМ: 2x+11y-23=0, |AМ|=.

в) BD: 2x+y-8=0, |BD|=.

г) a: 3x+4y-47=0.

д) .

е) .

ж) (x-2)²+(y-4)²=25.

Задача 4.3. Определить тип кривой второго порядка. Найти эксцентриситет, координаты фокусов, уравнения директрис и для гиперболы – асимптот. Сделать чертеж.

а) (x+2)²+(y-1)²=36;

б) ;

в) ;

г) y²= -9x.

Решение:

а) (x+2)²+(y-1)²=36.

Кривая, заданная каноническим уравнением вида (x+2)²+(y-1)²=36, является окружностью с центром в точке М(-2;1) и радиусом R=6. При построении окружности, центр которой смещен относительно начала координат, удобно производить перенос не самой кривой, а координатных осей (прямых линий). Для этого через центр кривой (точку М или О') проводят прямые O'x' или O'y', параллельные осям координат, и в этой новой (канонической) системе координатO'x'y' строят график окружности, заданной уравнением:

(x')²+(y')²= R², где

б) или - каноническое уравнение эллипса, где

а=7 – большая полуось эллипса,

b=4 – малая полуось эллипса.

c²=a²-b²=7²-4²=33 Þ c=.

Эксцентриситет: .

Координаты фокусов: F_1,2(±).

Уравнения директрис эллипса: или

Т.к. эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами 2а и 2b, достаточно построить прямоугольник с центром в начале координат и сторонами 2а=14 и 2b=8 и вписать в него эллипс.

в)

или

- каноническое уравнение гиперболы, где

a=5 – действительная полуось;

b=2 – мнимая полуось.

c²=a²+b²=5²+2²=25+4=29 Þ .

Эксцентриситет:

Фокусы гиперболы F_1,2(±)

Уравнения директрис гиперболы: или

Уравнения асимптот гиперболы:

Для построения графика гиперболы удобно построить основной прямоугольник со сторонами 2а=10, 2b=4. Диагонали прямоугольника - прямые являются асимптотами гиперболы.

г) Уравнение y²= -9x определяет параболу с вершиной в начале координат и фокусом на оси Ox.

Так как каноническое уравнение параболы имеет вид y²=-2px Þ ветви параболы направлены влево и фокус задан координатами или . Директрису параболы определяет уравнение . Для построения кривой найдем дополнительные точки:

х	-1	-2
у

Ответ: а) окружность с центром в точке М(-2;1) и радиусом R=6.

б) эллипс с эксцентриситетом , фокусами F_1,2(±), уравнениями директрис .

в) гипербола с эксцентриситетом , фокусами F_1,2(±), уравнениями директрис и асимптотами .

г) парабола с фокусом и директрисой .

Задача 4.4.Составить уравнение плоскости α, проходящей через точку М₀(1, 0, 2), перпендикулярно к двум плоскостям:

Решение: По условию

Очевидно , - неколлинеарны. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку и параллельной двум неколлинеарным векторам

(31)Þ

-21x(x-1)+3y+15(z-2)=0

-21x+21+3y+15z-30=0

-21x+3y+15z-9=0|:(-3) Þ a: 7x-y-5z+3=0.

Ответ: 7x-y-5z+3=0.

Задача 4.5.Определить расстояние от точки А(3, 5, 1) до плоскости

π: x+2y-2z+5=0

Решение: .

Ответ: ед.

Задача 4.6. Установить, лежит ли прямая в плоскости, параллельна или пересекает ее (в последнем случае определить точку пересечения прямой и плоскости и угол между ними):