Вывод формулы (1)

w Так как не зависит от способа разбиения области D на элементарные части, то сделаем разбиение её горизонтальными и вертикальными прямыми на прямоугольные элементарные части.

Всего количество элементарных частей будет равным , где — количество частей по оси OX, - количество частей по оси OY.

Площадь каждой элементарной части вычисляем как площадь прямоугольника: , а координаты произвольно выбранной точки на каждой элементарной части обозначим .

Теперь работаем с определением двойного интеграла, учитывая такое разбиение области D:

используя механическую трактовку, выполним суммирование сначала по j, то есть по вертикальным элементарным частям при фиксированном , затем по i, то есть просуммируем массы вертикальных полосок

.

Таким образом, получена формула сведения двойного интеграла к повторному: ,

в котором внутренний интеграл вычисляется по переменной а внешний – по переменной v