Линейная зависимость и независимость векторов

Выражение есть линейная комбинация векторов , , …, , где l₁, l_{2, …,} l_n – действительные числа.

Система векторов (4) называется линейно зависимой (ЛЗ), если существуют числа (не равные нулю одновременно) для которых имеет место равенство:

(5)

Если равенство (5) выполняется только при то система (4) линейно независимая(ЛНЗ).

Теорема 1. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных:

.

Теорема 2. Система из двух векторов ЛЗ данные векторы коллинеарны.

Теорема 3. Система из трех векторов ЛЗ данные векторы компланарны.

Следствие. Любые три вектора на плоскости ЛЗ.

Теорема 4. Любые четыре вектора в пространстве ЛЗ.

Базис на плоскости - любая упорядоченная пара ЛНЗ (неколлинеарных) векторов.

Если - базис на плоскости, - любой вектор плоскости, тогда по теореме 1 и следствию из теоремы 3 выполняется соотношение:

(6)

Говорят, что вектор разложен по векторам базиса В. Числа а₁, а₂ - координаты вектора в базисе В. Запись: = ()_В.

Базис где , называют декартовым базисом на плоскости (ортонормированным базисом плоскости).

Базис в пространстве – любая упорядоченная тройка ЛНЗ (некомпланарных) векторов: .

Если - любой вектор пространства, тогда по теореме 4 и теореме 1 выполняется соотношение:

(7)

Вектор разложен по векторам базиса В, т.е.= _В.

Базис где называют декартовым (ортонормированным) базисом в пространстве.

Теорема5. (свойства линейных операций над векторами в координатах) Пусть- декартов базис, в котором даны . Тогда

1⁰.

2⁰.

3⁰. .

Пример 1.1.В треугольнике АВС: , АМ – медиана. Выразить вектор через векторы и .

Решение: Точка М – середина ВС Þ

Ответ: .

Пример 1.2. Даны векторы и . Найти вектор .

Решение: По теореме 5:

.

Ответ: .

Пример1.3. При каких значениях a и b векторы и коллинеарны?

Решение: По теореме 5 (3°): или Þ

.

Ответ: a = 4, b = -1.