Две формулы для вычисления двойного интеграла в декартовых координатах

Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах в двойном интеграле

Содержание

2.1. Две формулы для вычисления двойного интеграла в декартовых координатах 10

2.2. Задача об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле. 14

2.3. Формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах. 16

2.4. Формула замены переменных в двойном интеграле. 18

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов, причем, в декартовой системе координат это можно сделать двумя способами.

Вариант 1 (для области правильной в направлении оси OY)

(Как вычисляется двойной интеграл для области правильной в направлении OY)

Если область D — правильная в направлении оси OY, то ее можно записать системой неравенств в которой отражено, что переменная x

изменяется в постоянных пределах, а переменная y изменяется, вообще говоря, в переменных пределах, зависящих от x; при этом геометрически отрезок является проекцией области на ось OX, линия ограничивает область снизу и линия ограничивает область сверху (Рис.3).

Тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле

(1)

Справа стоит повторный интеграл, в котором внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x является постоянной; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф(x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф(x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.