Механическая трактовка двойного интеграла

Если область D занята тонкой пластинкой и функция f(x,y)³ 0 задает поверхностную плотность распределения неоднородного материала (то есть величину массы на единицу площади), то двойной интеграл от функции f (x,y) по области D равен массе тонкой пластинки: (В чем состоит механическая трактовка двойного интеграла?)

Действительно, в определении двойного интеграла по формуле (2) можно провести следующее механическое истолкование:

f (P_i)∙DS_i »Dm_i — это масса элементарной части, вычисленная приближенно как для однородного материала;

— приближенное значение массы всех элементарных частей;

— это точное значение массы, так как при l®0 все части разбиения неограниченно измельчаются и тем самым убирается погрешность, допущенная при вычислении Dm_i.