Основные свойства двойного интеграла

(доказываются аналогично свойствам определенного интеграла)

Свойство 1 (о линейности двойного интеграла по подынтегральной функции)

Двойной интеграл от линейной комбинации функций равен аналогичной линейной комбинации двойных интегралов от каждой из функций:

,

где— постоянные множители по x и по y.

Свойство 2 (об аддитивности двойного интеграла по области интегрирования)

Если D = D1 È D2, то

Свойство 3 (о значении двойного интеграла от функции, тождественно равной единице)

Если подынтегральная функция f (x,y) º 1 на области D, то двойной интеграл от функции f (x,y) по области D равен площади (мере) области интегрирования:

Свойство 4 (оценки значения двойного интеграла)

1. Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области D, то

2. Если при "(x,y)ÎD, то

- площадь области

Свойство 5 (об интегрировании неравенств двойным интегралом)

Если при верно неравенство , то , то есть двойной интеграл от бóльшей функции имеет бóльшее значение (при условии, что оба интеграла существуют).

Свойство 6 (теорема о среднем)

Если функция f (x,y) непрерывна в области D, то существует хотя бы одна точка P₀(x₀,y₀)ÎD, такая что

Число называется средним значением функции f (x,y) в области D.