Определение двойного интеграла

Механическая и геометрическая трактовки

ТЕМА I. Кратные интегралы

Элементы теории векторных полей

Интегральное исчисление функций нескольких переменных.

Электронный конспект лекций по дисциплине

«Математический анализ»
для студентов II курса

Оглавление

Оглавление. 2

ТЕМА I. Кратные интегралы.. 4

§1. Двойной интеграл: определение, свойства, 4

механическая и геометрическая трактовки. 4

§2. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах в двойном интеграле. 10

§3. Тройные интегралы: определение, свойства, механическая трактовка, вычисление в декартовых, в цилиндрических и в сферических координатах 21

§ 4. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и механики 29

ТЕМА II. Криволинейные и поверхностные интегралы.. 42

§5. Криволинейные интегралы I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения. 42

§6.Криволинейные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. 49

§7. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода. 58

§ 8. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования. 64

§9. Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу. 72

§10. Поверхностный интеграл I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения. 77

§11. Поверхностные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса 85

ТЕМА III. Элементы теории векторных полей. 92

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 92

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 98

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков. 104

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 110

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля. 114

Глоссарий. 120

Вопросы для самопроверки. 124

§1. Двойной интеграл: определение, свойства,

Содержание

1.1. Определение двойного интеграла. 5

1.2. Основные свойства двойного интеграла. 6

1.3. Механическая трактовка двойного интеграла. 8

1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла. 8

Полное определение двойного интеграла

Рассмотрим функцию двух переменных , заданную и непрерывную в замкнутой области D XOY. 1. Разобьем область D на n малых элементарных частей произвольным образом. Обозначим через DSi площадь i-ой части, а через di - диаметр i-ой части. Число l = max , где i = 1,…,n, назовем рангом разбиения двумерной области D.   2. В каждой части разбиения выберем произвольную точку Pi (xi,yi) и вычислим значение функции f в ней: f () = f (Pi), i = 1, …, n, (Рис. 1) 3. Составим сумму парных произведений значений функции f (Pi) на площади DSi соответствующих частей разбиения: (1) эта сумма называется двумерной интегральной суммой функции f(x,y) в области D (двумерной суммой Римана). 4. Вычислим предел интегральной суммы (1) при условии, что ранг разбиения . Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные части и от выбора точек Pi в каждой части, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D. Обозначение и терминология: (2) D — область интегрирования; f (x,y) — подынтегральная функция; f (x,y)dS — подынтегральное выражение; dS — бесконечно малый элемент области интегрирования (дифференциал площади плоской области).

Краткая формулировка определения двойного интеграла (Кратко сформулируйте определение двойного интеграла)

Двойным интегралом от функции f (x,y) по области D называется конечный предел двумерной интегральной суммы, вычисленный при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму.

Диаметр плоской фигуры (Что такое диаметр плоской фигуры?)

Диаметр d плоской геометрической фигуры — это длина наибольшей хорды этой фигуры, то есть наибольшее расстояние между двумя точками этой фигуры.

Достаточное условие существования двойного интеграла (Сформулируйте достаточное условие существования двойного интеграла)

Если функция z = f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D существует.