Резонанс напряжений и резонанс токов.

Подключим к CLR-контуру переменное синусоидальное напряжение U = U_m cosωt. В цепи переменного тока, с последовательно включенными L, C и R, полное сопротивление контура имеет минимальное значение Z_min = R, если ωL = 1/ωC. В этом случае падения напряжения на индуктивности и конденсаторе равны, а их фазы противоположны, т.е. (U_L)_рез опережает (U_С)_рез по фазе на π, так что (U_С)_рез + (U_С)_рез = 0. Ток в цепи принимает максимальные значения (возможные при данном U_m), определяемые минимальным сопротивлением, что свидетельствует о наличии резонансной частоты ω_рез для тока, значение которой определяется из условия

ωL = 1/ωC, откуда ω_рез = 1/√LC = ω₀, (8)

т.е. резонансная частота для силы тока равна циклической частоте собственных колебаний в контуре. Напряжение U_R на активном сопротивлении R в этом случае равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (U_R =U). При этом сила тока и внешнее напряжение совпадают по фазе.

Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в контуре с последовательно включенными L, C, R и Е при ω_рез = 1/√LC = ω₀ называется резонансом напряжений (последовательным резонансом).

I₀ I_m

0,7·I_{m рез}= I_{m рез}/√2

ω₁ ω_рез ω₂ ω

Рис.2. Резонансная кривая колебательного контура.

Кривая зависимости амплитуды силы тока в контуре от частоты внешнего напряжения называется резонансной характеристикой контура, рис.2. Частота ω_рез не зависит от активного сопротивления контура R. Δω = ω₂ – ω₁ – полуширина резонансной кривой. Частоты ω₁ и ω₂ соответствуют амплитуде силы тока в контуре, которая в √2 раз меньше максимально возможной амплитуды тока.

Поскольку в случае резонанса напряжений (U_L)_рез = (U_С)_рез, то подставив сюда значения резонансной частоты (8) и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе (6), (7), получим

(U_L)_рез = (U_С)_рез = I_m √L/C = (U_m/R)√L/C = QU_m, (9)

где Q – добротность контура. Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. Так как Q обычных колебательных контуров больше единицы, то (U_L)_рез = (U_С)_рез > Е, т.е. добротность показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе (катушке) больше напряжения (э.д.с.), приложенного к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты, выделения из многих сигналов одного колебания определенной ν.

Можно показать, что относительная полуширина резонансной кривой связана с добротностью контура следующим соотношением

Δω/ω_рез=R√C/L=1/Q. (10)

При резонансной частоте сдвиг фаз φ между током и напряжением обращается в нуль (φ=0), т.е. изменения тока и напряжения происходят синфазно колебаниям внешней э.д.с.:

Е = E₀cos ω_резt, I_рез = (E₀/R)cos ω_резt, I₀^max = E₀/R.

Резонанс токов. Рассмотрим цепь переменного электрического тока, содержащую параллельно включенные L и С, рис.3. Пусть активное сопротивление R = 0.

I₁ C

I 1 2

I₂ L ~U

Рис.3.

Если U =U_mcosωt, то в ветви 1С2 течет ток

I₁ = I_m1cos(ωt–φ₁). (11)

Начальная фаза φ₁ определяется условием tg φ₁ =-∞, т.е. φ₁ = (2n+3/2)π, n=1, 2, 3, ... , а амплитуда тока (при условии L = 0 и R = 0) равна

I_m1 = U_m/(1/ωC).

Сила тока в ветви 1L2

I₂ = I_m2cos(ωt–φ₂), (12)

а начальная фаза φ₂ , определяемая из условия tg φ₂ =+∞, равна φ₂ = (2n+1/2)π, n=1, 2, 3, ... Амплитуда тока (при R = 0 и С=∞ - условие отсутствия емкости в цепи) равна

I_m2 = U_m/(ωL).

Cравнивая выражения (11) и (12) видим, что φ₂ - φ₁ =π, т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда тока во внешней (неразветвленной) цепи согласно первому правилу Кирхгофа равна

I_m = | I_m1 - I_m2 |= U_m |ωC – 1/(ωL)|.

Если ω = ω_рез = 1/√(LС), то I_m1 = I_m2 и I_m = 0.

Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор С и катушку индуктивности L, при приближении частоты ω приложенного напряжения к резонансной частоте ω_рез называется резонансом токов (параллельным резонансом).

Амплитуда тока I_m = 0, так как считали, что активное сопротивление контура R = 0. При R ≠ 0 разность фаз φ₂ - φ₁ ≠ π, поэтому I_m ≠ 0 и сила тока I в подводящих проводах примет наименьшее возможное значение, обусловленное только током через резистор. При резонансе токов силы токов I₁ и I₂ могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный параллельный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому его свойства используются в резонансных усилителях, позволяющих выделить одно колебание определенной частоты из сигнала сложной формы.