Экспоненциальный многочлен Джулии Робинсон

Экспоненциальные многочлены отличаются от обычных тем, что в них показателями степени могут быть не только конкретные натуральные числа, но и линейные многочлены от переменных с натуральными коэффициентами, то есть многочлены вида

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_k x_k + b,

где a₁, a₂, ..., a_k , b — целые неотрицательные числа.

Простейшими примерами экспоненциальных многочленов от переменной n являются правые части формул (8) и (9).

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что все встречающиеся у нас переменные принимают целые положительные значения.

В 1952 году американский математик Джулия Робинсон опубликовала следующий замечательный результат:

Существует экспоненциальный многочлен R(x₀, ..., x_k ), такой, что

• любое его положительное значение при целых положительных значениях переменных является простым числом;
• любое простое число можно представить в таком виде.

В результате получается такая «формула для простых чисел»:

Эта формула замечательна вот чем. Во-первых, в неё входят только целые числа, и потому, в отличие от формул Миллса, Райта и им подобных, формула Джулии Робинсон может быть выписана явно. Во-вторых, она задаёт все простые числа, а не только какие-то избранные из них, в отличие от всех рассмотренных выше формул. В-третьих, хотя формула (10) задаёт и не только простые числа, у нас есть очень простой способ отсеивания «лишних» чисел: каждое не простое значение R при целых положительных значениях неизвестных не превосходит нуля. Этим формула Джулии Робинсон выгодно отличается от формул (8) и (9), а также и от только что рассмотренных полиномиальных формул .

Доказательство Джулии Робинсон совершенно элементарно. Ниже излагаются его основные идеи.