Математическое моделирование пространственных геологических закономерностей

Лекция №11.

Свойства геологических объектов будут представлены как функции координат пространства – пространственные переменные. В роли пространственных переменных могут выступать мощность пластообразных тел, абсолютные отметки кровли и почвы пласта, содержание компонентов в рудном теле и многие другие величины.

Пространство, в котором существует изучаемая величина, называется геологическим полем пространственной переменной. В каждой точке или области геологического поля с координатами x, у, z свойство принимает конкретное значение

j(х, у, z). В общем случае в каждой точке или области геологического поля могут быть измерены несколько величин.

Значения пространственной переменной измеряют в пределах геологических объектов конечных размеров по какой-то сети в ограниченных областях геологического поля. В связи с этим рассмотрим параметры геометрии сети наблюдений и области измерений.

Геометрия сети наблюдений характеризуется формой, расположением и плотностью сети. Сеть бывает одномерная – вдоль линии, двухмерная – по площади и трехмерная – в объеме геологического тела. Измерения делят на непрерывные и дискретные (прерывистые). Для математической обработки непрерывные измерения обычно преобразуют в дискретные.

Наблюдения могут размещаться по равномерной, кратной или неравномерной сети. Равномерная сеть характеризуется постоянным шагом h – равным расстоянием между пунктами наблюдений. В двухмерной сети имеется два постоянных шага h₁ и h₂, которые образуют ячейку сети площадью s = h₁h₂. Если h₁ = h₂, то сеть квадратная. Трехмерная сеть имеет три постоянных шага h₁, h₂, h₃, образующих ячейку объемом v = h₁h₂h₃. В реальных условиях не всегда удается соблюдать строго равномерную сеть наблюдений.

Небольшими отклонениями от равномерной сети часто можно пренебречь. У кратной сети расстояния между пунктами наблюдений непостоянные, но кратные шагу h.

Плотность сети – количество наблюдений на единицу длины, площади или объема геологического объекта. Если сеть наблюдений отличается от равномерной, то можно говорить о средней плотности сети.

Обычно пространственная переменная предполагается непрерывной величиной, плавно меняющей свое значение в геологическом поле. Но возможны сравнительно резкие и даже скачкообразные изменения пространственной переменной, отражающие дискретность строения геологических объектов и позволяющие проводить внутри них геологические границы.

Геометрия области измерения характеризуется формой, размером и ориентировкой. Форма области может быть точечной, линейной, сферической, цилиндрической и пр. Во многих случаях формой области можно пренебречь, полагая ее точечной.

Размер области наблюдения влияет на некоторые характеристики. Например, при увеличении размера области уменьшается дисперсия величин. Размером области измерения также часто пренебрегают, считая измерения точечными, тем более что размеры области обычно на порядок ниже шага сети наблюдений.

При уменьшении размеров области некоторые измерения стремятся к предельному значению величины в данной точке, что характерно для непрерывных величин, например для мощности пластообразных геологических тел.

В других случаях такой предел отсутствует из-за дискретности строения геологических объектов (например, руда состоит из зерен рудных и нерудных минералов). В этих случаях принято говорить о средних значениях пространственной переменной в некоторой малой области геологического поля.

Ориентировка области измерений имеет значение для анизотропных геологических тел, а их большинство. При различной ориентировке линейных или цилиндрических областей в анизотропной среде можно получить разные результаты. Обычно стараются линейные пробы располагать по направлению наибольшей изменчивости свойств, т.е. по мощности рудных тел или пластов горных пород.

Результаты измерений пространственных переменных сводят в матрицу, в которой присутствуют значения величины j и координаты пунктов наблюдений (центров областей измерений) х, у, z:

. (4.1)

Следует отметить, что n – количество объектов, k – количество величин. В зависимости от количества учитываемых координат пространственные переменные и геологические поля делятся на одно-, двух- и трехмерные.

Математическое моделирование геологического поля ставит своей целью описание поведения пространственной переменной по имеющимся результатам наблюдений, а также прогнозирование ее значений в заданных точках или областях геологического поля. Попутно могут быть решены задачи оценки погрешности прогнозирования, рациональной плотности сети измерений и другие.

Реальные геологические поля пространственных переменных обладают большой сложностью. Математические модели геологических полей не позволяют дать их исчерпывающую характеристику, а отражают лишь наиболее существенные черты. Для каждого геологического поля можно построить много математических моделей, различающихся характером предположений о поведении величин в пространстве.

Математические модели геологических полей делятся на детерминированные и вероятностные. В детерминированных моделях предполагается, что пространственная переменная является неслучайной функцией координат и однозначно зависит от местоположения пунктов измерений. В тех пунктах, где проводились измерения, значения пространственной переменной принимают фактическими, а в промежутках между ними находят путем интерполяции. Способ интерполяции определяет вид математической модели. Среди детерминированных моделей можно выделить модели линейные, полиномиальные, обратных расстояний и сплайн-модели.

В вероятностных моделях предполагается, что значения пространственной переменной (в том числе и в пунктах измерений) содержат элементы случайности. Различают две группы математических моделей: случайные функции и геостатистические модели. В разных группах по-разному объясняется появление случайной составляющей.

Случайные функции основаны на предположении о том, что значения пространственной переменной j(х) испытывают случайные колебания δ(х) около неслучайной составляющей, называемой математическим ожиданием m(x):

j(х) = m(x) + d(х). (4.2)

В геологической литературе математическое ожидание называют также регулярной, координированной, закономерной составляющей или трендом. Математическое ожидание иногда делят на регулярную f(x) и периодическую w(х) составляющие:

m(x) = f(x) + w(х). (4.3)

Может быть несколько периодических составляющих, различающихся амплитудой и длиной волны.

Геостатистические модели содержат предположение о том, что случайный результат измерений вызван случайным расположением пунктов наблюдений. Любое перемещение сети наблюдений приводит к получению новых результатов, но при этом остается неизменным средний квадрат разности между результатами измерений в пунктах, отстоящих друг от друга на шаг h.

Полусумма среднего квадрата разностей называется вариограммой γ(h)

. (4.4)

Геостатистические модели различаются способом аппроксимации эмпирической вариограммы теоретической вариограммой и последующей интерполяцией результатов наблюдений.

Рассмотрим детерминированность модели геологического поля на примере линейной интерполяционной модели.

В основе модели лежит предположение о том, что между пунктами измерений значения пространственной переменной меняются по закону прямой линии. При густой сети измерений и слабой изменчивости величин предположение может быть близким к действительности и не повлечет за собой существенных погрешностей при прогнозировании значений между пунктами измерений. Может быть противоположная ситуация, когда величина настолько изменчива, что какое-нибудь разумное предположение о ее поведении между пунктами измерений сделать невозможно. В этом случае линейная модель выбирается из соображений максимальной простоты, что обеспечивает высокую достоверность прогнозирования. Подобные соображения используют, например, для оконтуривания рудных тел при подсчете запасов, когда сложные контуры тел заменяют многоугольниками, состоящими из прямолинейных отрезков.

Если в пункте с координатой х₁ измерено значение пространственной переменной j₁, в пункте х₂ – значение j₂, то при линейной интерполяции в любом пункте х между х₁ и х₂ интерполированное (прогнозное) значение

. (4.5)

Линейную интерполяцию можно представить графически в виде отрезков ломаной линии, опирающейся на измеренные значения j₁, j₂, …, j_n (табл.4.1, рис.4.1).

Линейная интерполяция может быть выполнена и в двухмерном пространстве внутри треугольника, образованного тремя пунктами наблюдений, не лежащими на одной прямой. По данным в вершинах треугольника можно найти уравнение плоскости:

j = ах + by + c. (4.6)

Уравнение позволяет вычислять интерполированное значение j в любой точке с заданными координатами х и у внутри треугольника. Если имеется много пунктов наблюдений, то охваченная ими площадь разбивается на несколько треугольников и в каждом из них рассчитывается свое интерполяционное уравнение (4.6).

Пример 1. Имеются три вертикальные скважины, в которых определены абсолютные отметки кровли пласта (табл.4.2). Необходимо рассчитать абсолютную отметку кровли пласта с координатами х = 240 м, у = 200 м.

Составим систему уравнений:

Решение системы дает коэффициенты а = –0,206; b = –0,341; с = 247,1. Следовательно, интерполяционное уравнение (4.6) имеет вид

z = –0,206х – 0,341у + 247,1.

Подставляя в него заданные координаты, найдем абсолютную отметку кровли в точке х = 240 м, у = 200 м:

z = –0,206∙240 – 0,341∙200 + 247,1 = 129,5 м.

Зная коэффициенты уравнения (4.6), из примера можно извлечь дополнительную геологическую информацию об элементах залегания кровли пласта.

Азимут простирания a = arctg(–b/a), а угол падения g = arctg.

В данном примере имеем a = arctg(–0,341/0,206) = –59° = 301°,

g = arctg22°.

Можно распространить линейную интерполяцию и на трехмерное пространство, которое разделяется на совокупность тетраэдров. Каждый тетраэдр образован четырьмя пунктами измерений, не лежащими на одной плоскости.

Внутри тетраэдра интерполяция осуществляется с помощью уравнения (гиперплоскости) j = ах + by + cz + d, которое опирается на вершины тетраэдра и рассчитывается аналогично процессу, приведенному в примере 1.

Следует отметить, что линейная интерполяционная модель, как и другие детерминированные модели, не позволяет оценить погрешность интерполяции без привлечения дополнительных данных.

Чтобы решить эту задачу, надо выполнить дополнительные измерения пространственной переменной внутри интервалов интерполяции и сравнить интерполированные и измеренные данные. Статистическая обработка таких материалов позволяет выявить, как погрешность интерполяции зависит от расстояния между пунктами наблюдений.