Методы графической обработки результатов измерений

При обработке результатов измерений и наблюдений широко используются методы графического изображе­ния, так как результаты измерений, представленные в табличной форме, иногда не позволяют достаточно на­глядно характеризовать закономерности изучаемых про­цессов. Графическое изображение дает наиболее нагляд­ное представление о результатах эксперимента, позволя­ет лучше понять физическую сущность исследуемого процесса, выявить общий характер функциональной за­висимости изучаемых переменных величин, установить наличие максимума или минимума функции.

Таблица 7. Результаты измерений ширины шва при сварке в среде СО₂ и их обработка

Для графического изображения результатов измере­ний (наблюдений), как правило, применяют систему прямоугольных координат. Если анализирует­ся графическим методом функция y = f(x), то наносят в системе прямоугольных координат значения x₁y1, х₂у₂,...,х_nу_n, (рис.2а). Прежде чем строить график, необходимо знать ход (течение) исследуемого явления. Как правило, качественные закономерности и форма графика экспериментатору ориентировочно известны из теоретических исследований.

Точки на графике необходимо соединять плавной линией так, чтобы она по возможности проходила ближе ко всем экспериментальным точкам. Если соединить точки прямыми отрезками, то получим ломаную кривую. Она характеризует изменение функции по данным эксперимента. Обычно функции имеют плавный характер. Поэтому при графическом изображении результатов из­мерений следует проводить между точками плавные кри­вые. Резкое искривление графика объясняется погреш­ностями измерений. Если бы эксперимент повторили с применением средств измерений более высокой точности, то получили бы меньшие погрешности, а ло­маная кривая больше бы соответствовала плавной кри­вой.

Однако могут быть и исключения, так как иногда ис­следуются явления, для которых в определенных интер­валах наблюдается быстрое скачкообразное изменение одной из координат (рис.2,б). Это объясняется сущ­ностью физико-химических процессов, например фазо­выми превращениями влаги, радиоактивным распадом атомов в процессе исследования радиоактивности и т.д. В таких случаях необходимо особо тщательно соединять точки кривой. Общее «осреднение» всех точек плавной кривой может привести только к тому, что скачок функции подменяется погрешностями измерений.

Иногда при построении графика одна-две точки рез­ко удаляются от кривой. В таких случаях вначале сле­дует проанализировать физическую сущность явления, и если нет основания полагать наличие скачка функции, то такое резкое отклонение можно объяснить грубой ошибкой или промахом. Это может возникнуть тогда, когда данные измерений предварительно не исследова­лись на наличие грубых ошибок измерений. В таких слу­чаях необходимо повторить измерение в диапазоне рез­кого отклонения данных замера. Если прежнее измере­ние оказалось ошибочным, то на график наносят новую линейные функции спрямляются на логарифмических сетках.

Рис.2 Графическое изображение функции y = f(x):

а - плавная зависимость: 1 - кривая по результатам непосредственных измерений; 2 - плавная кривая; б — при наличии скачка; в — при трех переменных: 1 — Z₅ = const; 2 —Z₄ = const; 3 - Z₃ = const; 4 - Z₂ = const; 5 – Z₁ = const.

Иногда в процессе обработки экспериментальных данных графическим способом необходимо составить расчетные графики, ускоряющие нахождение по одной переменной других. При этом существенно повышаются требования к точности вычерчивания функции на графи­ке. При вычерчивании расчетных графиков необходимо в зависимости от числа переменных выбрать координат­ную сетку и определить вид графика — одна кривая, се­мейство кривых или серия семейств. Большое значение приобретает выбор масштаба графика, что связано с размерами чертежа и соответственно с точностью сни­маемых с него значений величин. Известно, что чем крупнее масштаб, тем выше точность снимаемых значе­ний. Однако, как правило, графики не превышают раз­меров 20×15 см, что является удобным при снятии от­счетов. Лишь в отдельных случаях используют графики больших размеров.

а - полулогарифмическая; б - логарифмическая; в - вероятностная сетка.

Опыт показывает, что применяемая для вычерчива­ния графиков миллиметровая бумага в пределах разме­ров 15...20 см дает погрешность, не превышающую ±0,1... ...0,2 мм. Это следует иметь в виду при вычерчивании расчетных графиков. Таким образом, абсолютная ошиб­ка снимаемых с графиков величин может достигать 6 = = ±0,2 М, где М - принятый масштаб графика. Оче­видно, что точность измерений может быть выше точно­сти снимаемых с графика величин.

Масштаб по координатным осям обычно применяют различный. От выбора его зависит форма графика - он может быть плоским (узким) или вытянутым (широким) вдоль оси (рис.4). Узкие графики дают большую погрешность по оси у; широкие - по оси х. Из рисунка видно, что правильно подобранный масштаб (нормальный график) позволяет существенно повысить точность отсчетов. Расчетные графики, имеющие (минимум) функции или какой-либо сложный вид, особо тщательно необходимо вы­черчивать в зонах изгиба. На та­ких участках количество точек для вычерчивания графика долж­но быть значительно больше, чем на плавных участках.

В некоторых случаях строят номограммы, существенно облег­чающие применение для систематических расчетов сложных теоретических или эмпирических формул в определенных пределах измерения величин. Номограммы могут отра­жать алгебраические выражения и тогда сложные мате­матические выражения можно решать сравнительно про­сто графическими методами. Построение номограмм - операция трудоемкая. Однако, будучи раз построенной, номограмма может быть использована для нахождения любой из переменных, входящих в номограммированное уравнение. Применение ЭВМ существенно снижает тру­доемкость номограммирования. Существует несколько ме­тодов построения номограмм. Для этого применяют рав­номерные или неравномерные координатные сетки. В системе прямоугольных координат функции в боль­шинстве случаев имеют криволинейную форму. Это уве­личивает трудоемкость построения номограмм, поскольку требуется большое количество точек для нанесения од­ной кривой.

Рис.4 Форма графика в зависимости от масштаба:

1 – плоская; 2 – уширенная; 3 – нормальная.

В полу- или логарифмических координатных сетках функции часто имеют прямолинейную форму и составле­ние номограмм упрощается.

Методика построения номограмм функции одной пе­ременной y = f(x) или многих y = f(x₁, х₂, ..., х_n) сводит­ся к построению кривых или их семейств путем принятия постоянными отдельных переменных. Сложные алгебра­ические выражения целесообразно сводить к простому произведению двух-трех значений, например d = abc, где а,b,с - функции двух или трех переменных. В этом слу­чае необходимо вначале, задавшись переменными, вычислить а, b, с. Далее, придавая им постоянные значения, найти d. Величины а, b, с необходимо варьировать в оп­ределенных значениях, например от 0 до 100 через 5 или 10. Наиболее эффективным является такой способ по­строения номограмм, при котором а, b,