Принципи та етапи побудови моделей

Вступ

Ю.М. ГРИНЮК

Ю.М. ГРИНЮК

Л.В. МАЗНИК,

ОПТИМІЗАЦІЙНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

для студентів напрямку підготовки 6.030505 «Управління персоналом та економіка праці», 6.03050801 «Фінанси і кредит», 6.03050901 «Облік і аудит», 6.03050701 «Маркетинг» галузі знань 0305 «Економіка і підприємництво» всіх форм навчання

Реєстраційний номер

електронного конспекту

У НМВ________________

Київ НУХТ 2014

Мазник Л.В.Оптимізації методи та моделі: [Електронний ресурс]: конспект лекцій для студентів напряму підготовки 6.030505 «Управління персоналом та економіка праці» », 6.03050801 «Фінанси і кредит», 6.03050901 «Облік і аудит», 6.03050701 «Маркетинг» галузі знань 0305 «Економіка і підприємництво» всіх форм навчання. / Л.В. Мазник, Ю.М. Гринюк. – К.: НУХТ, 2014. – 136 с.

Рецензент: Харчишина О.В., д-р екон. наук

Л.В. МАЗНИК, канд. екон. наук

© Л.В. Мазник, 2014

© Ю.М. Гринюк, 2013

© НУХТ, 2013

Змістовна частина конспекту лекцій «Оптимізації методи та моделі» побудована за окремими темами, які в цілому охоплюють програму курсу:

·предмет, метод і задачі курсу;

· функції і графіки в економічному моделюванні;

· моделі задач лінійного програмування та методи їх розв'язування;

·теорія двоїстості та кількісний аналіз оптимізаційних розрахунків;

· транспортна задача;

· задачі цілочислового лінійного програмування та методи їх розв'язання;

· нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем;

· динамічне програмування.

Предметом дисципліни «Оптимізаційні методи та моделі»– є постановка і вирішення економіко-управлінських задач для народного господарства, його ланок і елементів на основі методів дослідження операцій та оптимізаційних моделей математичного моделювання з використанням сучасних математичних методів і обчислювальної техніки.

Мета та завдання навчальної дисципліни

полягає в формування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів оптимізаційних економіко-математичних моделей в управлінні персоналом, маркетингу, фінансах, аудиті. Вивчення цієї дисципліни дозволяє надати студентам комплекс знань по постановці і вирішенню економіко-управлінських задач для народного господарства, його ланок і елементів на основі методів дослідження операцій та оптимізаційних моделей математичного моделювання з використанням сучасних математичних методів і обчислювальної техніки, аналізу результатів вирішення задач і прийняттю на цій основі управлінських рішень та навчити студентів застосовувати на практиці основні види оптимізаційних моделей.

Основними завданнями вивчення дисципліни «Оптимізаційні методи та моделі» є:

- вивчення основних принципів та інструментарію постановки задач, побудови моделей, методів їх розв'язування та аналізу з метою використання в економіці;

-обов'язкове використання в управлінській діяльності кращих, передових досягнень науки, мистецтва і досвіду математичного моделювання для забезпечення ефективності та раціональності управління;

- надати студентам комплекс знань з: методик діагностування, аналізу, оцінювання стану керованого об'єкта, програмування, виробленню критеріїв оцінювання і моніторингу наслідків управлінських рішень;

- використання сучасного програмного та апаратного забезпечення процесу створення економіко-математичних моделей.

Згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні:

знати:

- основні принципи вирішення оптимізаційних задач математичного моделювання;

вміти :

- здійснювати класифікацію моделей;

- розробляти базові економіко-математичні моделі;

- визначати склад основних показників, за якими можна оцінити змінні;

- оцінити математичну модель за визначеними показниками;

- здійснювати економічний аналіз отриманої моделі;

- розкрити економічний зміст основних характеристик моделі;

мати навички:

-побудови оптимізаційних моделей різних типів та різної складності для економічних досліджень;

- визначення оптимального плану та цілі його знаходження для задач лінійного, цілочислового, динамічного, нелінійного програмування;

- користування основними прикладними програмами для побудови і вирішення задач математичного моделювання.

Міждисциплінарні зв’язки: Вивчення дисципліни «Оптимізаційні методи і моделі» базується на вивченні економічних і математичних дисциплін: «Теорія ймовірності і математична статистика», «Макроекономіка», «Мікроекономіка», «Економетрія», «Політекономія», «Розміщення продуктивних сил та регіональна економіка».

ТЕМА 1. ПРЕДМЕТ, МЕТОД І ЗАДАЧІ КУРСУ

1.1 Моделювання в економіці та його використання в розвитку та формалізації економічної теорії.

1.2 Основні дефініції математичного моделювання.

1.3 Теоретичні основи математичного моделювання та класифікація моделей.

1.4 Математична модель та її основні елементи.

1.5 Принципи та етапи побудови моделей.

1.1.Основні дефініції математичного моделювання

Моделювання – процес побудови моделі, за допомогою якого вивчається функціонування об’єктів різної природи. Він складається з трьох основних елементів: суб’єкта, об’єкта дослідження та моделі, з допомогою якої суб’єкт пізнає об’єкт.

Моделювання – процес побудови, вивчення та використання моделей, який включає побудову абстракцій, аналогій, конструювання наукових гіпотез.

Mодель – це такий матеріально або розумово зображуваний об’єкт, який у процесі дослідження зaмінює об’єкт-оригінал таким чином, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про цей об’єкт.

Модель – умовне зображення об’єкта, що певною мірою адекватно описує його функціональні характеристики, які істотно важливі для поставленої мети дослідження.

Модель – це інструмент кількісного аналізу певних явищ, крім того, застосування моделей розвивають інтелект і дають багато корисного для прийняття рішень.

Моделі управління поділяються на матеріальні (предметні) та ідеальні (змістовні). У класі матеріальних моделей найбільш характерні предметні (геометричні), фізичні та аналогові моделі. Предметні (геометричні) моделі призначені для аналізу тих якостей об’єкту, які визначаються його розмірами, формою, іншими ознаками, які характеризують об’єкт без урахування його внутрішньої природи. Фізичні моделі дозволяють вивчати властивості об’єкта або процесу із збереженням його фізичної природи або хімічних властивостей. Аналогові моделі відповідають тим же цілям, що й фізичні, але природа процесів, які використовуються в оригіналі та моделі різна. Основу аналогового моделювання складає подібність між математичними описами процесів оригіналу і моделі.

Клас ідеальних моделей об’єднує моделі, які відрізняються ступенем формалізації діяльності. Основним видом ідеальних моделей є знакові моделі, які використовують певну формалізовану мову. Важливими видами знакових моделей є словесно-описові, графічні та математичні. Словесно-описові є описанням властивостей реального або уявного об’єкта на звичайній мові. Графічні моделі залежно від призначення модна поділити на портретні та умовні. Графічна портретна модель – це модель, яка графічними засобами відображає реально або теоретично досліджені властивості, характеристики об’єкта. Графічна умовна модель призначена для відображення графічного образу характеристик, властивостей об’єкта, які неможливо спостерігати.

Математичні моделі описують властивості системи, які забезпечують вирішення завдань, процесів на мові математики (функціональна та логічна залежність, алгебраїчні системи, диференційні рівняння, графічні структури тощо). Математичне моделювання – метод дослідження, що заснований на аналогії процесів і явищ, різних за своєю природою, які описуються однаковими математичними залежностями. Математичні моделі поділяються на функціональні (кібернетичні) та структурні. Основна мета функціональних (кібернетичних) моделей – пізнання сутності об’єкта через найважливіші прояви цієї сутності: діяльність функціонування, поведінка, Внутрішня структура при цьому не вивчається, а інформація про структуру не використовується. Структурні моделі відображають внутрішню організацію об’єкта: його складові частини, внутрішні параметри, їх взаємозв’язок із «входом» і «виходом» тощо.

Опис математичної моделі виконується термінами кількісних характеристик-показників (змінних, невідомих), значення яких підлягає визначенню в процесі розв’язку задачі та параметрів, величини котрих апріорно відомі. Будь-яка модель задачі дослідження окремого класу включає в себе змінні, систему обмежень і мету. Мета – це цільова функція, яка задається на множині допустимих розв’язків D.

Критерієм оптимальності називається деякий показник, який має економічний зміст та служить способом формалізації конкретної мети керування і виражається за допомогою цільової функції через фактори моделі. Критерій оптимальності визначає розуміння змісту цільової функції. У деяких випадках в якості критерію оптимальності може виступати одна із вихідних характеристик об’єкта моделювання.

Цільова функція математично зв’язує між собою фактори моделі, і її значення визначається значеннями цих величин. Змістовне тлумачення цільовій функції надає тільки критерій оптимальності. Змінні стану визначають або допомагають визначити стан системи в будь-який момент часу. Прикладом таких змінних можуть бути обсяги продажу і прибуток. Змінні росту – характеристики, що описують процес, який протікає в системі в заданий момент часу. Досліджуваний процес можна кваліфікувати або як перетворення, або як переміщення. Додаткові змінні допомагають глибше вивчити об’єкт, а в окремих випадках спрощують співставлення результатів дослідження. Керовані змінні – входи моделі, значення котрих змінюється в часі незалежно від поведінки об’єкта дослідження. Зростання обсягів виробництва – результат керування зі сторони зовнішнім середовищем, дію якого на окремих стадіях можна розглядати як постійну величину. Керовану змінну можна представити як функцію від часу.

Параметри та константи – це незалежні від часу економічні показники та нормативні коефіцієнти, які характерні для об’єкта і включаються до моделі через систему обмежень.

Система обмежень визначає границі існування області дійсних та допустимих розв’язків і характеризує основні зовнішні та внутрішні властивості об’єкта. Обмеження визначають область відбуття процесу, границі зміни параметрів та характеристик об’єкта.

Рівняння зв’язку являються математичною формалізацією системи обмежень. Між поняттями «система обмежень» та «рівняння зв’язку» існує аналогія, як між поняттями «критерій оптимальності» та «цільова функція»: різні за змістом обмеження можуть описуватися однаковими рівняннями зв’язку, а одне і те ж саме обмеження в різних моделях може записуватись різними рівняннями зв’язку.

Розв’язком математичної моделі називається такий набір (сукупність) значень змінних, які задовольняють її рівняння зв’язку. Розв’язки, які мають економічний зміст, називаються структурно допустимими. Моделі, які мають багато розв’язків, називаються варіантними на відміну від без варіантних, які мають один розв’язок. Серед структурно допустимих варіантних розв’язків моделі, як правило, знаходиться один розв’язок, при якому цільова функція в залежності від змісту моделі має найбільше або найменше значення. Такий розв’язок, як і відповідне значення цільової функції, називається оптимальним.

Вимоги адекватності моделей включають: відповідності структури та властивостей об’єкта керування (процесу управління); відповідності властивостей і можливостей методів формування інформаційної бази моделей, виконання їх на основі процедури імітації; відповідності до вимог розв’язання управлінських задач.

1.2 Моделювання в економіці та його використання в розвитку та формалізації економічної теорії

Економіко-математичне моделювання як самостійна дисципліна, що вивчає процеси побудови, інтерпретації та використання математичних моделей економічних систем для розв’язання задач аналізу, синтезу та прогнозування їх діяльності, за останні роки почала розвиватися досить інтенсивними темпами. При цьому об’єктом дослідження та предметною областю економіко-математичного моделювання є система, яка об’єднує у собі економічну теорію, економічну політику та господарську практику. Тому самі економіко-математичні моделі, а також процеси їх побудови, верифікації та інтерпретації слугують зв’язуючою ланкою ланцюга: «економічна теорія-економічна політика-господарська практика» і на них покладена функція забезпечення цілісності економічної системи.

Елементи цього ланцюга в загальному випадку відносно самостійні й одночасно взаємопов’язані, при цьому зв’язки між ними мають зворотній характер. Так, економічна теорія впливає не тільки на економічну політику, але й безпосередньо на господарську практику. Цей вплив здійснюється через очікування, реакцію, думку, традиції, поведінку агентів різного рівня. В свою чергу, на економічну теорію впливає не тільки господарська практика (через наукове узагальнення та характерні особливості реальних економічних об’єктів), але і економічна політика – з допомогою цілеспрямованого чи несвідомого формування попиту на ті чи інші теоретичні системи, а також через об’єктивний аналіз процесів прийняття управлінських рішень і їх формування.

Отже, оптимізаційні методи і моделі зараз – це не тільки корисний інструментарій для отримання нових знань в економіці, але й широко застосовуваний апарат для прийняття практичних рішень в прогнозуванні, банківській справі, управлінні персоналом, бізнесі.

1.3 Теоретичні основи математичного моделювання та класифікація моделей

Самостійна наукова дисципліна «Економіко-математичне моделювання» має складну теоретичну основу, яка складається з:

• економічної кібернетики (основа: системний аналіз економіки, теорія економічної інформації, теорія керуючих систем);

• економетрії (основа: дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз, регресійний аналіз, багатомірний аналіз, факторний аналіз, кластерний аналіз);

• математичної економіки (основа: теорія економічного росту, теорія виробничих функцій, міжгалузеві баланси, національні рахунки, аналіз попиту та пропозицій, регіональний та просторовий аналіз, глобальне моделювання);

• методів дослідження операцій (основа: математичне програмування, сіткове моделювання, теорія масового обслуговування, методи керування запасами, теорія ігор та методи прийняття рішень);

• експертних методів економіки (основа: математичні методи аналізу і планування економічних експериментів, імітаційне моделювання, ділові ігри, методи експертних оцінок);

• методів прогнозування.

Економіко-математичних моделі класифікують за такими ознаками:

1) за цільовим призначенням – теоретико-аналітичні та прикладні моделі;

2) за ступенем агрегування об’єктів – макроекономічні та мікроекономічні моделі;

3) за конкретним призначенням – балансові, трендові, оптимізаційні, імітаційні моделі;

4) за типом інформації, використаної в моделі – аналітичні та ідентифіковані моделі;

5) за врахуванням фактора невизначеності – детерміновані та стохастичні моделі;

6) за характером математичного апарату – матричні моделі, моделі лінійного та нелінійного програмування, кореляційно-регресійні моделі, моделі теорії масового обслуговування, моделі сіткового планування та керування, моделі теорії ігор;

7) за типом підходу до систем, які досліджуються – дескриптивні (описові) моделі (наприклад, балансові та трендові моделі) та нормативні моделі (оптимізаційні та моделі рівня життя);

8) за структурою моделей та характером їх складових – одно- та багатофакторні моделі, статичні та динамічні моделі, моделі простої та складної структури;

9) за часовими характеристиками – довготермінові, середньотермінові та короткотермінові моделі.

1.4 Математична модель та її основні елементи

Економіко-математичні моделі дають змогу порівняти характеристики реального економічного об’єкта чи системи. Тип математичної моделі залежить як від природи системи, так і від задач дослідження. У загальному випадку математична модель системи (об'єкта, процесу) містить опис множини можливих станів останньої та закон переходу з одного стану до іншого (закон функціонування).

Математична модель економічного об'єкта – це його гомоморфне відображення у вигляді сукупності рівнянь, нерівностей, логічних співвідношень, графіків. При побудові моделі необхідно визначити індекси (наприклад, виду продукції), ендогенні змінні (визначаються в ході розрахунків), екзогенні змінні (задаються поза моделлю) та параметри (коефіцієнти рівнянь моделі).

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних залежностей. У загальному випадку виокремлюють лінійні та нелінійні моделі. Особливо важливим є клас лінійних моделей, найзручніших для аналізу й розрахунків, завдяки чому вони набули великого поширення.

Відмінності між лінійними та нелінійними моделями істотні не лише з математичного, а й з теоретико-економічного погляду. Адже числові залежності в економіці як на макро-, так і на мікрорівні мають принципово нелінійний характер: ефективність використання ресурсів з розширенням виробництва, зміна обладнання, моделі управління запасами тощо. Теорія «лінійної економіки» істотно відрізняється від теорії «нелінійної економіки». Від того, якими — опуклими чи не опуклими — вважаються множини виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств), істотно залежать висновки про можливості поєднання централізованого планування та господарської самостійності економічних підсистем.

За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які включаються до моделей, останні поділяють на відкриті і замкнені. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна мати хоча б одну ендогенну змінну. Повністю замкненими (такими, що не містять жодної екзогенної змінної) економіко-математичні моделі бувають надзвичайно рідко. Загалом економіко-математичні моделі різняться за ступенем відкритості.

Принцип достатності використаної інформації означає, що в кожній моделі повинно використовуватися тільки те інформаційне забезпечення, яке відоме з необхідною для результатів моделювання точністю. Під відомим інформаційним забезпеченням розуміють нормативні, довідкові, звітні та інші характеристичні дані про реальні економічні системи та їх складові, які були до моменту моделювання.

Принцип інваріантності інформації вимагає, щоби в моделі вхідна інформація була незалежна від параметрів моделюючої системи, які ще не відомі на описуваній стадії дослідження. Використання цього принципу дає можливість при побудові моделей позбутися замкнутого кола, що часто трапляється, коли в моделі використовується інформація, яка може бути відома лише за результатами моделювання.

Зміст принципу наступності зводиться до того, що кожна модель не повинна порушувати властивостей об’єкта, встановлених або відображених у попередніх моделях комплексу. Отже, вибір критеріїв та моделі повинен в ґрунтуватися на принципі наступності за умови, що забезпечується виконання принципів достатності та інваріантності використаної інформації. Якщо ж наступна модель не є складовою попередніх, то раніше побудовані моделі повинні бути скориговані для забезпечення принципу наступності.

Принцип ефективності реалізації передбачає, що кожна модель може бути реалізована з допомогою сучасних програмних та технічних засобів. Виконання такого принципу вимагає забезпечення відповідної точності вхідних даних, точності розв’язку задачі і тієї точності результативної інформації, яка достатня для досягнення практичних цілей.

Принцип інтегрованості полягає в тому, що взаємовідношення частини та цілого характеризуються сукупністю трьох елементів:

1) виникненням взаємодіючих систем – зв’язків між частинами цілого;

2) втратою деяких властивостей при входженні в ціль;

3) появою нових властивостей у цілого, зумовлених властивостями складових частин.

Принцип невизначеності припускає, що на граничних межах економічні процеси чітко невизначені. Перебіг процесів у часі призводить до того, що вони постійно змінюються, і якщо навіть можливо встановити будь-які характерні властивості чи якості процесу, то вони проявляють їх тільки в певний момент часу і в заданій ситуації. Тобто на мікрорівні економічні процеси необхідно розглядати з урахуванням випадкових факторів.

Принцип невизначеності дає можливість стверджувати, що існує рівень факторів, малі відхилення котрих не викликають змін у стані системи. Однак в міру ускладнення моделі системи слід детальніше аналізувати її. Разом з тим абстрагується розв’язок задачі, а її результати можуть втрачати прикладний зміст.

Принцип головних компонентів вбачаємо в тому, що в різних системах існують подібні види діяльності (управління, регулювання, розподілу), які можна виділити як стандартні. Вони бувають незмінними на деякому проміжку часу й можуть бути дещо подібними моделями.

Процедуру побудови моделі та підготовку управлінського рішення на основі економіко-математичних методів можна представити з допомогою ряду взаємозв’язаних етапів, хоча в конкретних випадках деякі етапи можуть опускатися, а ряд процедур для побудови моделі – вестись паралельно.

1. Постановка задачі та формулювання мети дослідження. Цьому етапу передує виникнення проблемних ситуацій, усвідомлення яких призводить до необхідності їх узагальнення або вирішення для майбутнього досягнення певного ефекту (корисності). Основу етапу складає комплексний аналіз функціонування об’єкта дослідження, виявлення його проблемних місць. Далі йде опис найбільш характерних властивостей об’єкта, вивчення його структури та взаємозв’язків. Тут важливим моментом є формулювання гіпотез щодо поведінки та розвитку об’єкта. Завершується досліджуваний етап описом поставлених завдань у вигляді задачі та сформульованої мети дослідження з допомогою критерію чи критеріїв ефективності.

2. Побудова концептуальної моделі. Під концептуальною моделлю об’єкта розуміється сукупність якісних залежностей критеріїв оптимальності і різного роду обмежень від факторів, суттєвих для адекватного відображення функціональних характеристик об’єкта. На другому етапі відбувається формалізація існуючої економічної проблеми, яка полягає у вираженні її з допомогою математичної символіки через відповідні залежності та відношення. Як результат, на завершення етапу отримуємо математичну задачу, яка має цільову функцію та відповідну систему обмежень. Концептуальна модель відображає основні елементи:

• умови функціонування об’єкта, визначені характером взаємодії між об’єктом і його оточенням, а також між елементами об’єкта;

• мету дослідження об’єкта та напрямок покращення його функціонування;

• можливості керування об’єктом, визначення складу керованих змінних об’єкта.

У процесі формулювання концептуальної моделі об’єкта можуть виникати такі проблеми:

• побудова спрощеного і в той же час адекватного поставленій меті дослідження сценарію функціонування об’єкта;

• формулювання та уточнення мети дослідження;

• формалізація мети в критерії оптимальності;

• формалізація зовнішніх та внутрішніх обмежень;

• вибір факторів, які описують об’єкт і його оточення, котрі повинні бути враховані при дослідженні і, відповідно, включені в математичну модель;

• класифікація факторів і вибір серед них в першу чергу керованих змінних.

3. Формування інформаційної бази моделі. Цей етап є найбільш трудомістким, оскільки він представляє собою не тільки простий статистичний збір інформації. Тут висуваються досить високі вимоги до якості та достовірності підготовленої інформації. При формуванні інформаційного забезпечення використовується математичний інструментарій теорії ймовірностей, економетричного моделювання. Тут має місце неперервність процесу формування необхідної інформації, який полягає в тому, що вихідні параметри однієї моделі можуть служити вхідними показниками для іншої.

4. Побудова числової економіко-математичної моделі.На цьому етапі на основі концептуальної моделі здійснюється формування числової математичної моделі об’єкта. Головна проблема етапу – визначення кількісних математичних співвідношень, які формалізують якісні залежності концептуальної моделі. Навіть за наявності повністю розробленого сценарію ці співвідношення можуть бути неочевидними. У зв’язку з цим часто виникає необхідність у виконанні проміжного етапу між побудовою концептуальної і математичної моделей об’єкта, тобто перетворення сценарію в алгоритм, який моделює взаємодію елементів між собою та оточенням в динаміці.

Для реалізації математичної моделі на персональних комп’ютерах вона має бути представленою в числовій формі, тобто задані числові значення констант, границі зміни невизначених факторів та керованих змінних, закони розподілу випадкових величин. Завершальним кроком формування математичної моделі є оцінка її адекватності стосовно до концептуальної моделі.

5. Числовий розв’язок задачі. Етап дослідження числової математичної моделі розпочинається з її аналізу (відношення до певного класу моделей), вибору відповідного методу її розв’язання та програмного забезпечення. Головна проблема цього етапу – розробка алгоритму оптимального або найкращого в заданих умовах розв’язання певної задачі.

6. Аналіз числових результатів і прийняття рішень. На цьому етапі вирішується важливе питання відносно правильності та повноти результатів моделювання, і, як результат, розробляються рекомендації для практичного використання при прийнятті відповідних рішень або для удосконалення моделі. На цьому етапі передусім з’ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі. Тому спершу перевіряють адекватність моделі за тими властивостями, що було взято за найістотніші. Тобто потрібно виконати верифікацію і валідацію моделі, оскільки головна мета моделювання полягає в розв’язуванні практичних задач. Верифікація моделі – перевірка правильності структури (логіки) моделі. Валідація моделі – перевірка відповідності здобутих у результаті моделювання даних реальному процесу в економіці.

ТЕМА 2. ФУНКЦІЇ І ГРАФІКИ В ЕКОМІЧНОМУ МОДЕЛЮВАННІ

2.1 Поняття функціональної залежності.

2.2 Способи завдання та дослідження функцій.

2.3. Основні елементарні функції.

2.1 Поняття функціональної залежності

Поняття функції або функціональної залежності – одне з основних математичних понять, за допомогою яких моделюються взаємозв'язки між різними величинами, кількісні та якісні співвідношення між різними економічними характеристиками та показниками.

Поняття функції, як і поняття множини відноситься до числа початкових понять, тому воно не визначається, а пояснюється. Кажемо, що функція f задана, якщо даний закон, згідно якого кожному значенню х з деякої числової множини А, ставиться у відповідність одне повністю визначене значення y з деякої числової множини В.

Функціональна залежність між величинами х та у символічно позначається так , де х – аргумент (незалежна змінна), у – функція (залежна змінна).Сукупність всіх значень аргументу, кожному з яких відповідає певне значення функції, називається областю визначення функції. Множина значень, які приймає у, називається областю зміни функції.

2.2.Способи завдання та дослідження функцій

Функцію можна задати різними способами. Найбільш поширені і важливі серед них – завдання функції формулою (аналітичний), табличний та графічний. При використанні ПК використовується також алгоритмічний спосіб.

Побудова і аналіз графіків функцій. Графіком функції f називається геометричне місце (множина) точок на координатній площині, які мають координати , у яких абсцисами слугують значення незалежної змінної х, а ординатами – відповідні значення функції . Функції характеризуються рядом властивостей, до важливіших з яких (для побудови і дослідження графіків) відносяться: парність, нулі, періодичність, монотонність, обмеженість функції, наявність у функції асимптот і оберненої функції.

Функція називається парною, якщо для будь-яких двох різних значень аргументу із області її визначення виконується рівність (наприклад, , ). Функція називається непарною, якщо для будь-якого значення аргументу із області визначення функції виконується рівність (наприклад, ). Існують функції, які не можна віднести до парних або непарних – аморфні (наприклад, ). Графік парної функції симетричний відносно вісі OY, а непарної – відносно центру О.

Нулі функції. Нулями функції називають те значення аргументу, при якому функція набуває нульового значення. Графічно нулями функції є точки перетину графіку функції з віссю абсцис.

Періодичні функції. Функція називається періодичною, якщо існує число Т таке, що для кожного значення аргументу х з області її завдання має місце рівність . Число Т називають періодом функції.

Монотонність функції. Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких значень х з цього проміжку, більшому значенню аргументу, відповідає більше значення функції. Функція називається спадною (спадаючою) на деякому проміжку, якщо для будь-яких значень х з цього проміжку, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Зростаючі та спадаючі функції називаються монотонними.

Асимптоти. Асимптотою графіка функції називається пряма, до якої наближається графік даної функції при прямуванні аргументу до нескінченності або до деякого числа а. Асимптоти можуть бути вертикальними, горизонтальними або похилими.

Обмежені функції. Функція називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число М, що для всіх х з області визначення . Функція називається обмеженою, якщо існує таке число М>0, що для всіх х з області визначення .

Обернена функція і її графік. Дана функція . Виразимо х як деяку функцію від у: , тобто представимо у як аргумент, а х – як функцію. Тоді функція називається оберненою по відношенню до функції , якщо при підстановці її замість аргументу отримуємо тотожну рівність: .

Складна функція. Функція, задана у вигляді , називається складною функцією х або суперпозицією функцій g та f.

2.3. Основні елементарні функції

1. Лінійна функція . Область визначення функції (-∞, +∞), область зміни функції (-∞, +∞). Графік – пряма лінія(-∞, +∞). Кутовий коефіцієнт k дорівнює tgφ, де φ – кут між позитивним напрямком вісі Ох та прямою. Ця функція монотонна: зростає при k>0 та убуває при k<0.

2. Функція визначена при всіх значеннях х за виключенням точки х=0. Область зміни функції – інтервали (-∞, 0), (0, +∞). Графік – гіпербола. Функція в кожному з інтервалів (-∞, 0) та (0, +∞) монотонна: зростає при k<0 та убуває при k>0. Функція виражає обернену пропорційну залежність між х та у. Функція непарна. Гіпербола симетрична відносно початку координат. Вісі координат є асимптотами гіперболи.

3.Функція . Ця функція визначена при будь-якому значенні х, крім точки х=0. Область зміни функції – інтервали (-∞, 0), (0, +∞). Графік – гіпербола. Функція в інтервалі (-∞, 0) при k>0 зростає, при k<0 зростає. Функція парна. Вісі координат є асимптотами гіперболи.

4. Показникова функція (а>0) визначена на всій числовій вісі, область зміни функції (0, +∞). При а>1 функція монотонно зростаюча, при а<1 функція монотонно спадаюча. Вісь Ох є асимптотою. В якості основи цієї функції часто використовують число е2,71828…В цьому випадку функція називається експонентою.

5. Логарифмічна функція (при а>0 та а1). Функція визначена при х>0. Область зміни функції(-∞, +∞) монотонна (зростає при а>1, убуває при а<1). Графік завжди проходить через точку (1;0). Вісь ординат є асимптотою для графіку. В якості основи функції а часто використовується число е2,71828… В цьому випадку функція називається натуральним логарифмом і позначається .

6. Степенева функція з будь-яким раціональним показником . Розглянуті вище функції: х, , , є частковими випадками цієї функції.

ТЕМА 3. МОДЕЛІ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ТА МЕТОДИ ЇХ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

3.1 Постановка задач лінійного програмування, їх моделі та основні форми.

3.2 Графічний метод розв'язування задач лінійного програмування.

3.3 Симплексний метод розв'язування задач лінійного програмування.

3.1. Постановка задач лінійного програмування, їх моделі та основні форми

Структурні складові економічної системи мають мету (ціль) свого розвитку та функціонування. Це може бути, наприклад, отримання максимуму чистого прибутку, обсягу виробництва, мінімуму витрат чи відходів та інше. Ступінь досягнення мети, в більшості випадків, має кількісну характеристику, тобто її можна описати математично. Нехай Z - обрана ціль.

Загальну лінійну математичну модель формалізації економічних процесів і явищ (загальну задачу лінійного програмування), можна подати у вигляді:

знайти максимум (мінімум) функції

(3.1)

за умов

(3.2)

(3.3)

Функцію Z називають цільовою функцією або функцією мети. Для економічної системи це є функція ефективності її функціонування та розвитку.

Сформулюємо загальне визначення задачі лінійного програмування таким чином:

Необхідно знайти такі значення керованих змінних х_і, щоб цільова функція при цих значеннях набувала екстремального (мінімального чи максимального) значення за виконання певної множини умов. Отже, потрібно знайти значення змінних , які задовольняють умови (3.2) і (3.3), при яких цільова функція (3.1) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Система (3.2)-(3.3) називається системою обмежень або системою умов задачі. Вона описує внутрішні технологічні та економічні процеси функціонування і розвитку виробничо-економічної системи, а також процеси зовнішнього середовища, які впливають на результат діяльності системи. Для економічних систем змінні х_імають бути невід’ємними. Формалізований запис задачі (3.1)-(3.3) є загальною економіко-математичною моделлю функціонування умовної економічної системи. Розробляючи окреслену модель, потрібно керуватися такими правилами:

1) модель має адекватно описувати реальні економічні та технологічні процеси;

2) у моделі потрібно враховувати все істотне, суттєве в досліджуваному явищі чи процесі, відкидаючи все другорядне, неістотне;

3) модель має бути зрозумілою для користувача;

4) треба забезпечити, щоб множина наборів х_ібула непустою. Для цього в економіко-математичних моделях потрібно якнайменше використовувати обмеження-рівності, а також суперечливі обмеження.

Будь-який набір змінних що задовольняє умови (3.2) та (3.3), називають допустимим планом або планом. Очевидно, що кожний допустимий план є відповідною стратегією економічної системи, програмою дій. Кожному допустимому плану відповідає значення цільової функції, яке обчислюється за формулою (3.1). Сукупність усіх розв’язків систем обмежень (3.2) та (33), тобто множина всіх допустимих планів, становить область існування планів. План, за якого цільова функція набуває екстремального значення, називається оптимальним. Оптимальний план є розв’язком задачі математичного програмування (3.1)-(3.3).

Відзначимо, що в задачі математичного програмування передбачається одна цільова функція, яка кількісно виражена. В реальних економічних системах на роль критерію оптимальності (ефективності) претендують багато показників. Наприклад, максимум чистого доходу від виготовленої продукції чи максимум рентабельності, мінімум собівартості виготовленої продукції або мінімум витрат дефіцитних ресурсів тощо. Хоча загальна задача математичного програмування передбачає одну цільову функцію, але існують математичні методи побудови компромісних планів, тобто методи багатокритеріальної оптимізації. Розглянемо найпростіші математичні моделі задач лінійного програмування (ЛП):

1) Задача про використання ресурсів (сировини). Для виготовлення двох видів продукції П1 та П2 використовуються три види сировини S1, S2, S3. Запаси сировини, норми витрат сировини на виготовлення одиниці продукції кожного виду та дохід від одиниці продукції кожного виду наведені в таблиці:

Вид сировини	Запаси сировини	Витрати сировини на виготовлення одиниці продукції
П1	П2
S1
S2
S2
Дохід від одиниці продукції

Необхідно знайти такий план виробництва продукції, який забезпечить найбільший сумарний дохід.

Побудуємо математичну модель задачі. Позначимо:

х₁, х₂ – загальна кількість продукції П₁ та П₂;

Z – сумарний дохід, який отримаємо від реалізації всієї продукції П₁ та П₂.

Запишемо цільову функцію задачі. Дохід від реалізації одиниці продукції П₁ становить с₁, а всього цієї продукції плануємо випустити х₁ одиниць, тому перемноживши с₁ на х₁, отримаємо весь дохід, який матимемо від реалізації всієї продукції. Аналогічно дохід від реалізації продукції П₂ становитиме с₂х₂. Додамо ці два доданки (с₁х₁+с₂х₂) і отримаємо весь дохід від реалізації всієї продукції П₁ та П₂. Оскільки ми хочемо отримати найбільший дохід, то будемо знаходити максимальне значення цільової функції:

Тепер потрібно записати обмеження задачі. Нам відомо, скільки ресурсів кожного виду затрачається на виготовлення одиниці продукції кожного виду. Так, на виготовлення одиниці продукції П₁ ресурсу (сировини) S1 витрачаємо а₁₁, всього продукції П₁ плануємо виготовити одиниць. Перемножимо а₁₁ на і отримаємо ту кількість ресурсу S1, яка піде на виготовлення всієї продукції П₁. Цього ж ресурсу S1 на виготовлення одиниці продукції П₂ затрачаємо а₁₂, а плануємо виготовити х₂ одиниць продукції П₂, тому, коли перемножимо а₁₂ на х₂, будемо мати кількість ресурсу S1, затрачену на виготовлення всієї продукції П₂. Якщо додамо а₁₁ х₁ та а₁₂х₂, то отримаємо сумарні витрати ресурсу S1 на виготовлення всієї продукції П₁ та П₂. Але запас кожного виду ресурсу обмежений iвикористати більше, ніж ми маємо, не можемо. Запас ресурсу S1 становить . Тому обмеження з використання ресурсів матимуть вигляд:

Очевидно, що невідомі не можуть бути від’ємними. Причому рівність нулю однієї з них означає, що даний вид продукції виготовляти недоцільно.

Ми отримали таку задачу лінійного програмування:

(3.4)

(3.5)

Функція (3.4) - це цільова функція або функція мети, (3.5) - система обмежень задачі, причому перші три обмеження (3.5) називають основними обмеженнями, а останні два - природними чи економічними.

2) Узагальнена модель оптимального планування.Розглянемо загальну модель оптимального планування. Припустимо, що планується організувати випуск продукції r видів за допомогою т можливих технологій. Для цього використовується п видів виробничих ресурсів (матеріалів, обладнання, праці, сировини тощо). Введемо позначення: i - індекс ресурсу, ; j – індекс технології, ; l - індекс виду продукції, ; - витрати ресурсу і-го виду на одиницю часу роботи технологічної лінії виду j; - вихід продукції виду l за одиницю часу роботи технологічної лінії виду j; - обсяг запасів ресурсів i-го виду; - коефіцієнт, який відображає частку продукції виду l в загальному обсязі кінцевої продукції; - час роботи технологічної лінії виду j; Z - загальний обсяг кінцевої продукції.

Тоді узагальнена модель оптимального планування матиме вигляд: знайти такий план {}, який забезпечить

при виконанні обмежень:

а) за обсягом ресурсів:

(3.6)

б) за структурою кінцевої продукції

(3.7)

3) Задача про складання кормового раціону.

В кормовий раціон для відгодівлі великої рогатої худоби (ВРХ) входять п’ять видів кормів К_h К₂, К₃, К₄ та К₅. Для забезпечення заданого приросту ваги тварини повинні споживати поживні речовини Р₁,Р₂ та Р₃. Мінімальна кількість поживних речовин, потрібних тваринам, а також вміст кількості одиниць поживних речовин в 1 кг корму та вартість 1 кг корму наведені в таблиці.

Необхідно скласти добовий раціон споживання ВРХ таким чином, щоб затрати на нього були мінімальними.

Поживні речовини	Мінімальна кількість поживних речовин	Кількість одиниць поживних речовин в 1 кг корму
Р1	К2	К3	К4	К5
Р1
Р2
Р3
Вартість 1 кг корму	с1	с2	С3	С4	С5

Побудуємо математичну модель задачі. Введемо позначення: х_і - кількість корму (кг) К_і в раціоні (і=1, 2, 3, 4, 5); Z - вартість добового раціону.

Оскільки вартість одного кілограма корму становить с_і aзагальна кількість корму і-гoвиду, що потрібна для відгодівлі ВРХ становить х_і кг (і=1, 2, 3, 4, 5), то перемноживши с_і на х_і i додавши ці добутки, отримаємо вартість добового раціону відгодівлі ВРХ: Z = c₁x₁+c₂x₂+c₃x₃+c₄x₄+c₅x₅. Для побудови обмежень задачі перемножимо - кількість поживних речовин Р₁, що містяться в 1кг корму К₁на загальну кількість цього корму х₁і так по всіх видах кормів, щоб в результаті отримати загальну кількість поживних речовин, отриманих від усіх п’яти кормів, а мінімальна кількість поживних речовин повинна становити відповідно , , ,тому обмеження з першого, другого та третього видів поживних речовин матимуть вигляд 3.9:

Ми отримали математичну модель задачі про кормовий раціон:

Цільова функція

(3.8)

Обмеження

(3.9)

4) Задача про раціональний розкрій матеріалів.

Розглянемо умови задачі. Значна частина матеріалів надходить на підприємство певними одиницями стандартних розмірів. Для використання його доводиться розрізати на частини, щоб отримати заготовки потрібних розмірів. Виникає проблема мінімізації відходів матеріалів.

Для побудови математичної моделі задачі введемо позначення. Нехай:

m – кількість різних заготовок;

B_i – план випуску заготовок і-го виду;

n - кількість різних способів (варіантів) розкрою стандартного матеріалу;

– число заготовок і-го виду, одержаних за допомогою j-го способу розкрою;

с_j – величина відходів при j-му варіанті розкрою.

Схематично задачу можна представити у вигляді таблиці:

Варіант (спосіб) розкрою	Вихід заготовок з одиниці матеріалу	Відходи
1-го виду	2-го виду	…	m-го виду
			…
			…
…	…	…	…	…	…
N			…		cn
План випуску заготовок	B1	B2	…	Bm

Через невідому x_j позначимо кількість одиниць вихідного матеріалу, які потрібно розрізати j-тим способом, а через Z – загальну кількість відходів.

Кількість заготовок i-го виду, одержана за всіма варіантами розкрою становитиме , а нам потрібно цих заготовок в кількості B_i одиниць. Тому в якості обмеження з i-того виду заготовок буде рівність:

=B_i .

В загальному випадку математична модель задачі раціонального розкрою матеріалу матиме вигляд:

(3.10)

(3.11)

Існуючі методи розв’язування задач лінійного програмування передбачають певні вимоги до системи основних обмежень (3.2), тому розрізняють дві стандартні форми запису задач лінійного програмування:

І-ша - з обмеженнями-рівняннями;

ІІ-га - з обмеженнями-нерівностями.

Запишемо задачу лінійного програмування в першій стандартній формі:

(3.12)

(3.13)

Розв’язати задачу (3.12)-(3.13) - означає знайти такі розв’язки системи рівнянь (3.13), при яких цільова функція (3.12) набуває екстремального значення.

Задача ЛП записана в другій стандартній формі має вигляд:

(3.14)

(3.15)

Знайти розв’язок задачі, записаної в другій стандартній формі означає знайти такі розв’язки системи нерівностей (3.15), при яких цільова функція (3.14) набуває екстремального значення.

2.2. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування

Для кращого розуміння основних властивостей задач лінійного програмування використаємо їх геометричне зображення. Введемо визначення опуклих множин, які характерні для задач лінійного програмування.

Множина D в n-мірному евклідовому просторі називається опуклою множиною, якщо для будь-яких двох точок цієї множини точки X = належать множині D для всіх значень X, які належать відрізку [0; 1]. Геометрично це означає, що якщо дві точки належать множині D то й відрізок прямої, що їх з’єднує, також належить до множини D. Прикладами опуклих множин на площині є відрізок, пряма, круг, півплощина, квадрат і т.д.

Розглянемо основні властивості розв’язків задач лінійного програмування.

Вектор Х=(х₁, х₂, ... , х_п), координати якого задовольняють систему обмежень (3.2) і (3.3), називають допустимим розв’язком (планом) задачі. Сукупність допустимих розв’язків задачі утворює область допустимих розв’язків.

Опорним планом задачі лінійного програмування називається план, що утворений координатами вершин многогранника планів задачі. Отже, опорний план – це план, який задовольняє не менш ніж п лінійно незалежних обмежень (3.2) та обмеження (3.3) щодо знака у вигляді строгих рівностей.

Опорний план називається невиродженим, якщо він є вершиною многогранника планів задачі, що утворений перетином п гіперплощин, тобто задовольняє п лінійно незалежних обмежень – строгих рівностей. В протилежному випадку опорний план є виродженим.

Якщо задача лінійного програмування має розв’язок і серед її планів є опорні, то хоча б один з них буде оптимальним. Сукупність усіх розв’язків задачі лінійного програмування є багатогранною опуклою множиною, яку називають многогранником розв’язків. Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин многогранника розв’язків. Якщо ж цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього многогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.

Розглянемо алгоритм графічного методурозв’язування задач лінійного програмування. Слід зауважити, що окреслений метод використовується для розв’язування певного класу задач лінійного програмування, зокрема задач, число невідомих яких не перевищує 3. Хоча вже в трьохвимірному просторі важко побудувати многогранник допустимих розв’язків, а задачу лінійного програмування, яка містить більше трьох змінних графічно зобразити практично неможливо. Тому найчастіше графічним методом розв’язують задачі лінійного програмування, які містять дві невідомі і записані в другій стандартній формі (з обмеженнями-нерівностями).

Розглянемо основні етапи знаходження розв’язку задач ЛП графічним методом:

1) На координатній площині Х₁0Х₂ будуємо граничні прямі, які відповідають системі обмежень задачі:

, i = .

2) Визначаємо півплощини, які є розв’язками нерівностей. Для цього беремо координата точки з довільної півплощини і підставляємо в нерівність. Якщо нерівність справджується, то півплощина розв’язків направлена в сторону вибраної точки, якщо ж не справджується, то в протилежну сторону.

3) Знаходимо область, де перетинаються всі півплощини розв’язків – многокутник розв’язків. Якщо перетин – непорожня множина, то переходимо до наступного етапу. В протилежному випадку робимо висновок, що задача не має розв’язку.

4) Будуємо вектор нормалі , початок якого знаходиться в точці (0,0), а друга координата - в точці (с₁,с₂) (коефіцієнти при невідомих в цільовій функції). Вектор нормалі вказує напрямок зростання функції.

5) Перпендикулярно до вектора нормалі будуємо лінію рівнів с₁х₁ + с₂х₂ = const. Для зручності знаходження оптимальних точок лінію рівнів будуємо так, щоб вона мала спільні точки з многокутником розв’язків (перетинала многокутник розв’язків).

6)Визначаємо оптимальні точки.