Полярна система координат

Крім прямокутної системи координат на площині часто використовують полярну систему координат.Виберемо в площині довільну точку О, назвемо її полюсомі проведемо промінь Ор, який називається полярною віссю,задамо масштабну одиницю довжини т = |ОЕ|. Положення будь-якої точки М у площині визна­чимо так: сполучимо відрізком прямої полюс з точкою М. Довжину відрізка ОМ позначимо через . Цей відрізок називається полярним радіусомточки М; задамо на ньому напрям від О до М. Дістанемо вісь ОМ. Таким чином, маємо дві осі: перша — полярна вісь, а дру­га — вісь ОМ. Величину кута рОМ (з урахуванням напряму повороту) позначимо через (у градусах, радіанах або абстрактних одиницях) і назвемо його полярним кутомточки М (рис. 6.3).

Рис. 6.3.

Полярними координатамиточки М називається упорядкова­на пара чисел (,), де —довжина полярного радіуса; — величина полярного кута точки М. Для полюса = 0, а має дові­льне значення. Той факт, що числа і —координати точки М, записують так: М (,). Полярні координати і однозначно визначають положення точки на площині. Обернене твердження неправильне, оскільки кож­ній точці координатної площини відповідає одне й те саме і нескінченна множина полярніх кутів, які можуть відрізнятись один від одного на 2, де кє Z.

Для того щоб дістати взаємно однознач­ну відповідність, на полярний кут накла­дають обмеження: 0< 2або < < . Ці значення називаються головними значеннями полярного кута.Знайдемо залежність між полярними і прямокутними декартовими координатами точки М. Сумістимо прямокутну систему коорди­нат з полярною так, щоб початок координат збігався з полю­сом, а полярна вісь — з додатною

піввіссю абсцис (рис .6.4).

Рис. 6.4.

Прямокутні координати (х; у) точки М на площині виражаються через її полярні координати ​​за допомогою співвідношень

З урахуванням обмеження на полярний кут полярні координати точки визначаються через її прямокутні координати наступним чином:

;

Приклад 6.1. Знайти полярні координати точок М(3, 4) та N(-1; 1).
Розв’язання. Для точки М маємо: а для точки N - .

Відповідь: .

6.3. Циліндрична і сферична системи координат

Якщо в прямокутній системі координат замість перших двох координат хі увзяти поляр­ні координати, а третю залишити без змін, то дістанемо циліндрич­ну систему координат. Координати точки Рпростору в цій системі записуються у вигляді Р(,, z).

Знайдемо залежності між прямокутними декартовими коор­динатами точки Р (х, у,z)і її циліндричними координатами Р(,, z). (рис. 6.5). Враховуючи формули полярної системи координат, маємо

, де 0 < +; 0 < 2; z < +.

Рис. 6.5.