Декартова система координат

Системи координат

В основі аналітичної геометрії лежить можливість однозначного описування точок за допомогою набору чисел, які називаються координатами. Описування множини за допомогою співвідношень між координатами точок дозволяє залучити для його дослідження алгебраїчні

методи, що значно розширює можливості аналізу. Навпаки, залежності

(рівняння, нерівності та їх системи) можна інтерпретувати як залежності

між координатами точок і отримати наочне представлення чисто

алгебраїчної задачі (наприклад, у разі пошуку рішень рівнянь і їх систем).

Таким чином, виникає зв'язок алгебри і геометрії.

Його роль виконує система координат.

Існують різні способи задання точок набором координат. Аналітична геометрія спирається на найпростішу систему координат - прямокутну, яка відома з шкільного курсу математики. Ми дамо визначення прямокутної системи координат, використовуючи векторну алгебру. Фактично ми побудуємо систему координат більш загального виду, в якій вісі координат можуть знаходитися по відношенню один до одного під довільним кутом. Прямокутна система координат буде окремим випадком, коли кути між осями координат будуть прямими.
Назвемо декартовою (афінною) системою координат пару, що складається з фіксованої точки О і деякого базису. Відповідно трьом

просторам отримуємо три варіанти декартової системи координат: на прямій, на площині і в просторі. Декартовими (аффінними)

координатами довільної точки є координати вектора у заданому

базисі. З декартовою системою координат пов'язані такі поняття:
- Початок (системи) координат - точка О в складі декартової системи координат.
- Репер - базис у складі декартової системи координат, для векторів якого вибирається загальна точка докладання на початку координат;
- Вісі координат(координатні вісі) - прямі, на яких лежать вектори репера, що задають напрямок на цих прямих. Вісі мають спеціальні назви (в порядку нумерації): вісь абсцис, вісь ординат і вісь аплікат. Координати точки називаються по вісях: абсциса, ордината і аппліката. На площині відсутня вісь аплікат, на прямий також немає вісі ординат.
- Координатні площини - площини, що визначаються парами векторів репера. Поняття використовується для декартової системи координат у просторі.
- Радіус - вектор точки М – вектор , що з'єднує початок координат О з цією точкою.
Декартову систему координат загального вигляду часто називають косокутною системою координат.

Якщо репер декартової системи координат є ортонормованим базисом, то таку систему координат називають декартовою прямокутною системою координат, або просто прямокутною системою координат, а декартові координати точки – її прямокутними координатами.
Далі будемо використовувати в основному прямокутні системи координат, тобто будемо припускати, що репер представляє собою ортонормований базис, причому обов'язково правий. Зазначимо, що базис в (тобто на площині) називають правим (лівим), якщо перший його вектор поєднується з другим за допомогою найкоротшого повороту проти напрямку (за напрямком руху) годинникової стрілки.

Отже, під системою координат мається на увазі прямокутна система координат з правим базисом, а під координатами точки - її прямокутні координати. Використання інших систем координат буде обов'язково оговорюватись. Для позначення декартових систем координат, наприклад в просторі, будемо використовувати позначення типу , де О - початок системи координат, а - ортонормований репер (базис), або .