Математическая постановка задач оптимизации

Во многих технологических процессах возникает необходимость оптимального, т. е. наилучшего в каком-то определенном смысле, управления системами, состояние которых характеризуется одним или несколькими параметрами, которые распределены в пространстве. Решение задачи оптимизации может быть представлено, как решение задачи выбора и принятия решений.

Задачей принятия решения называют кортеж (совокупность)

,

где – множество вариантов решения задачи;

– принцип оптимальности, дающий представление о качестве вариантов, в простейшем случае – это правило их предпочтения друг перед другом.

Решением задачи принятия решений называется множество , которое является подмножеством множества , полученное на основе принципа оптимальности.

Задачи принятия решений классифицируются по наличию информации об и и бывают трех видов:

1. и – неизвестны. Это общая задача принятия решений. Данные для получения x_опт определяют в данной задаче в процессе ее решения.

2. – неизвестно, – известно ( эта задача поиска вариантов).

3. и – известны ( это задача оптимизации).

В общем случае задача принятия решения решается в два этапа:

1 этап: Задача формализуется, т.е. строится ее математическая модель, в которой конкретные физические, технические, технологические, экономические условия и требования к объекту воплощаются в виде задачи оптимизации с определенной целевой функцией и допустимым множеством вариантов.

2 этап: Решение задачи оптимизации с использованием известных методов.

Постановка задачи оптимизации включает в себя множество допустимых решений и числовую функцию , определенную на этом множестве, которая называется целевой функцией.

Различают два вида задач оптимизации:

1. Задачу минимизации.

2. Задачу максимизации.

Чтобы решить задачу минимизации функции на множестве , необходимо найти такой вектор ( а также соответствующее значение целевой функции ), чтобы неравенство: выполнялось для всех . При этом называют оптимальным решением (точнее здесь – минимальным решением),а - оптимумом (минимумом).

Чтобы решить задачу максимизации функции на множестве , необходимо найти такой вектор ( а также соответствующее значение целевой функции ), чтобы неравенство: выполнялось для всех . При этом называют оптимальным (максимальным ) решением, а – оптимумом ( максимумом ).

В общем виде находится именно вектор , т.к., например, при решении двухпараметрической задачи, он будет включать в себя два параметра, трехпараметрической – три параметра и т.д.