Гистограммы

Если данные из какой либо выборки сгруппировать по частоте попадания в тот или иной интервал значений и представить это распределение графически в виде столбиков соответствующей высоты, получим график, называемый гистограммой (или столбчатой диаграммой). Гистограмма способна дать много информации, если сравнить полученное распределение данных с контрольными нормативами. Полезность информации увеличится, если по полученному распределению частоты определить среднее арифметическое и стандартное отклонение.

При измерении в течение определённого периода свойств изделий или полуфабрикатов, например, размеров листовых стеклоизделий, влажность шихты, светопропускание стекла, содержание оксидов в стекле и т.д., и последующем графическом представлении распределения частотности этих данных, получим колоколообразную гистограмму, соответствующую нормальному распределению (Гаусса) – см. рис. 5.

Типичная гистограмма нормального распределения характерна для процесса, колебания параметров в котором в основном зависят от случайных причин. Если в процесс вмешиваются не случайные влияния, то характер распределения измерений параметров меняется – гистограмма «деформируется» (примеры этого на рис. 6).

Характер гистограммы отражает условия технологического процесса:

а) гистограмма с двухсторонней симметрией (нормальное распределение) указывает на стабильность процесса;

б) гистограммы с прогалами (одним – «с вырванным зубом», несколькими – «гребёнка») получаются, когда ширина участка не кратна единице измерения (не выражается целым числом в выбранной единице измерения), когда оператор ошибается в считывании показаний прибора и другие;

Таблица 8

	Диапазон	Частота попадания в диапазон, %	Частота попадания за пределы диа- пазона, %
μ ± 1 σ	68,2	31,74
μ ± 2 σ	95,44	4,56
μ ± 3 σ	99,73	0,27
μ ± 4 σ	99,994	0,006
Рис. 5. Гистограмма нормального распределения

в) гистограмма в форме обрыва, у которой как бы обрезан один край (или оба). Она представляет случаи, когда, например, отобраны и исключены из партии все изделия с параметрами ниже (или выше, или и те и другие). После исследования причин отклонения значений параметров от нормы и стабилизации процесса можно прекратить отбор всех изделий с параметрами, отличающимися от нормальных.

д) гистограмма, не имеющая высокой центральной части («плато») получается, когда объединяются несколько распределений, в которых средние значения имеют небольшую разницу между собой. Анализ такой гистограммы следует проводить, используя метод расслоения

е) и ж) двугорбые гистограммы отражают случаи объединения двух распределений с разными средними значениями, напрмер, в случае наличия разницы между двумя станками, между двумя видами материалов (или комплектующих), между двумя операторами и т.д. В этом случае надо провести расслоение по двум видам фактора, исследовать причины различия и принять соответствующие меры для его устранения. Вариант разделения гистограмм после расслоения представлен на рис. 7.

В некоторых случаях данные выборок подчиняются иным законам распределения. Например, при задании диапазона скоростей выработки листового стекла персонал стремится работать на скоростях, близких к верхнему пределу задания; при нормативном задании диапазона допуска

Рис. 6. Виды гистограмм

по толщине вырабатываемого стекла персонал стремится работать ближе к нижнему пределу допуска. И это понятно, в обоих случаях преобладают экономические интересы.

В этом случае в выборке больше будет данных, скопившихся в начале или в конце диапазона, чем в его середине. Такие выборки характеризуются биноминальным распределением или распределением Пуассона (см. рис. 8. и 9.). При подобном распределении, как видно из графиков, мода и медиана выборки заметно не совпадают со средним арифметическим, поэтому для анализа выборок используются иные критерии и оценки доверительной вероятности.

Так, при систематизации количественных данных, полученных в результате контроля, можно увидеть, что число дефектных изделий pn и доля дефектных изделий p подчиняются биноминальному распределению, а суммарное число дефектов С подчиняется закону распределения Пуассона.

Оба эти распределения чётко проявляются при небольших выборках данных – до 10 точек. Если число данных в выборке велико (pn ≥ 5; m ≥5), то распределение их приближается к нормальному. Поэтому при построе-

Рис. 7. Расслоение выборки на основе гистограммы

нии контрольных карт как биноминальное распределение, так и распределение Пуассона можно представлять как нормальное распределение.

На производстве гистограммы в основном используются в системе контроля качества продукции, причём для сравнения действительного разброса данных с контрольными (нормативными) допусками на колебание параметров (рис. 10) При взгляде на гистограмму (см.рис. 11)

сразу видно, попадает ли гистограмма внутрь допуска, смещена ли в какую-либо сторону допуска (к верхней или нижней границе допуска), не выходит ли за пределы допуска, а если выходит, то насколько; насколько

Рис. 8. Рис. 9.

Биноминальное распределение Распределение Пуассона

( 1 - относительная частота, 2 - ( 1 – относительная частота, 2 –

число дефектных изделий – pn ) суммарное число дефектов, m –

cреднее число дефектов на еди-

ницу площади)

середина гистограммы не совпадает с серединой допуска. Выяснив эти вопросы, можно составить более обоснованный план мероприятий по усовершенствованию производства данной продукции.

При сравнении гистограммы с нормой – допуском, предусмотренным стандартом, регламентом производства, договором с поставщиком или потребителем – возможны разные варианты их соотношения:

1. Среднее значение распределения находится посредине между

верхней и нижней границами допуска, разброс (ширина гистограммы) не выходит за пределы нормы (допуска). Наилучшее положение, когда стандартное отклонение σ выборки примерно в 8 раз меньше допуска.

2. Гистограмма полностью входит в границы допуска, но разброс

велик, края гистограммы находятся почти на границах допуска (стандартное отклонение в этом случае лишь в 6 раз меньше допуска). А это значит, что возможно появления брака (0,27%), поэтому нужны меры для уменьшения разброса.

3. Среднее значение распределения находится посредине допус-

ка, однако края гистограммы намного не доходят до границ допуска. Значит стандартное отклонение σ выборки боле чем в 10 раз меньше допуска. С одной стороны это положение не должно вызывать беспокойства, поскольку явно есть гарантия против появления брака. С другой стороны, если сузить допуск, т.е. сделать норматив на изделие менее строгим, можно повысить мощность производства и эффективность с точки зрения сбыта продукции; или если несколько увеличить разброс, т.е. сделать менее строгими нормативы на технологические операции и на сырьё, материалы и комплектующие, можно повысить производительность производства и понизить стоимость исходных материалов.

4. Разброс невелик по сравнению с допуском, но среднее значение сместилось в сторону какой-либо из границ допуска так, что край гистограммы находится на этой границе. Значит существует возможность появления брака, и необходимы меры, обеспечивающие перемещение среднего значения в середину допуска.

5. Среднее значение выборки находится посредине допуска, а края гистограммы выходят за его границы, т.е. явно какая-то часть продукции выпускается бракованной. Необходимы меры по уменьшению разброса.

6. И среднее значение смещено относительно центра допуска, и разброс велик (края гистограммы за границами допуска). Вероятность выпуска брака весьма существенна. Необходимы меры по перемещению среднего значения выборки в середину допуска и сокращению разброса.

Существует индекс возможностей (или показатель мощности) процесса, по значению которого можно делать заключение о состоянии разброса по отношению к допуску; о том, достаточен ли допуск.

В том случае, когда есть и верхняя, и нижняя границы допуска и гистограмма выборки расположена между ними, индекс возможностей процесса С _р определяется по формуле:

,

где S _U - верхняя граница допуска,

S _L - нижняя граница допуска,

s - стандартное отклонение выборки.

Если сложно отрегулировать среднее значение параметра, степень отклонения можно оценить по индексу возможностей процесса С _рк по восстановлению отклонения:

С _рк = ( 1 – К ) ( S _U – S _L) / 6 s ,

где К – степень отклонения:

(в числителе берётся абсолютная величина).

В том случае, когда имеется только одна граница допуска, индекс возможностей процесса определяется по одной из следующих формул, смотря какая задана граница (см.рис. 11.):

Рис. 10.

Примеры соотношения гистограммы

и допуска на колебание параметра

Рис. 11.

Варианты соотношения гистограммы и допуска

к расчёту индекса возможностей процесса

или .

Например, при вырезке листов стекла длиной 1 м стандартное отклонение выборки из 20 листов составило 0,0918 мм при среднем значении, равном 1000,47 мм. Допуск на длину листов предусмотрен в ± 1 мм. Оценим процесс резки с точки зрения его возможностей.

Степень отклонения будет равна

Тогда индекс возможностей процесса по восстановлению отклонения оказывается равным

Как оценивается числовое значение индекса возможностей процесса ? См. рис. 11 и 12.

1. Когда С _р (или С _рк) > 1,67 , значит допуск не менее чем в 10 раз превышает стандартное отклонение; разброс параметра изделия невелик, появление брака не угрожает. В этом случае можно упростить контроль процесса, что приведёт к снижению себестоимости продукции; можно уменьшить допуск, что будет способствовать улучшению стратегии сбыта

2. Когда 1,67 > С _р > 1,33 , значит допуск в 8 – 10 раз превышает стандартное отклонение выборки. Состояние процесса считается идеальным.

3. Если 1,33 > С _р > 1,00 , значит допуск в 6 – 8 раз превышает стандартное отклонение. Когда индекс С _р близок к 1 , вероятность появления брака составляет 0,27 % (см.табл. 8). Поэтому контроль за процессом необходимо усилить, проанализировать, какие факторы и как влияют на разброс, провести соответствующие мероприятия по улучшению состояния процесса.

4. В случае когда 1,00 > С _р > 0,67 , значит допуск лишь в 4 – 6 раз превышает стандартное отклонение выборки. Приближение С _р к 0,67 указывает на вероятность появления брака в количестве 4,56 %. Это означает, что контроль процесса неудовлетворителен. Необходимо наладить его, провести сплошной контроль с целью недопущения брака. Вместе с тем нужно немедленно исследовать факторы, влияющие на разброс, и принять меры к улучшению состояния процесса.

Если С _р < 0,67 , значит допуск не превышает 4-х стандартных отклонений. Процент брака превышает 4,56 %. О таком процессе надо говорить, что он неконтролируем. Необходимо провести сплошной контроль продукции, чтобы не выдавать потребителю

Рис. 12. Примеры связи гистограмм, допусков и индекса возможностей процесса

бракованных изделий, и одновременно принять меры к повышению качества, выяснив причины появления брака. Иногда приходится заново проводить изучение потребностей потребителей, а также пересматривать допуски.

Анализ состояния процесса по индексу его возможностей целесообразно проводить в комбинации с применением карт контроля (см. раздел Б.9.).

Взаимосвязь параметров гистограмм хорошо иллюстрируется нижеследующей таблицей 2 (по Ремезову Н.И.):

Таблица 2.

Взаимосвязь параметров гистограмм

(стрелки указывают направление изменения параметра:

↑ - увеличение, ↓ - уменьшение )

		σ	С р	С рк	Снрк	Сврк
↑				↓	↑	↓
↓				↓	↓	↑
σ ↑			↓	↓
σ ↓			↑	↑
С р ↑		↓
С р ↓		↑
Срк ↑	→ к середи- не допуска	↓
Срк ↓	→ к грани- цам допуска	↑
Снрк ↑	↑					↓
Снрк ↓	↓					↑
Сврк ↑	↓				↓
Сврк ↓	↑				↑