Лекция 12. Основы зонной теории твердого тела. Одноэлектронное приближение. Теорема Блоха

Приводятся основы зонной теории твердого тела, т.к. внутренняя структура атомов в рамках классической теории не может быть рассмотрена. Кроме того, макроскопическая физика неприменима для описания поведения электронов в связи с их малыми размерами и массой. Точное описание взаимодействия всех частиц, составляющих твердое тело, представляет собой практически неразрешимую задачу, поскольку каждая частица (электроны и ядра атомов), входящая в состав кристалла объемом 1 см³, взаимодействует с 10²³−10²⁴ частицами, причем все они находятся в непрерывном и очень сложном движении. В первом приближении электроны считаются свободными, не чувствующими влияния кулоновского поля ионов, а кристалл представляет собой совокупность периодически расположенных ионов, «плавающих» в однородном электронном газе -модель свободных электронов. Модель свободных электронов не позволяет объяснить различия между диэлектриками, полупроводниками и проводниками. Для возможности объяснения этих различий необходимо учитывать, что электроны движутся в периодическом поле ионов, находящихся в узлах решетки. Периодическое поле, создаваемое ионами кристалла, обуславливает неоднородность распределения электронного газа в пространстве. Рассматривается одноэлектронное приближение: задача движения коллективизированных электронов в кристалле сводится к задаче движения одного (любого) электрона в поле периодически расположенных в кристалле ионов, находящихся в узлах решетки. В этом приближении при описании движения электрона не учитываются движения ядер, движение электрона происходит в поле неподвижных ядер- это адиабатическое приближение. Кроме этого, при таком подходе медленное движение ядер рассматривается в поле, создаваемом средним пространственным распределением зарядов электронов, а не в поле, создаваемом мгновенным расположением электронов. Взаимодействие одного (каждого) электрона со всеми остальными, зависящее от мгновенного положения электронов, рассматривается как взаимодействие электрона с самосогласованным полем, создаваемым средним пространственным распределением зарядов электронов.

При обсуждении атомных орбиталей в одноэлектронном приближении приводится уравнение Шредингера, описывающее стационарное (не зависящее от времени) состояние квантовых частиц:

Где E− полная энергия квантовой системы, а y − волновая функция стационарного (не зависящего от времени) состояния системы. Оператор Гамильтона (гамильтониан) , где − оператор кинетической энергии частицы, имеющий вид, − оператор импульса, m − масса частицы, а U− ее потенциальная энергия. Одноэлектронное приближение позволяет вместо энергий парного взаимодействия электронов с электронами, ядер с ядрами и электронов с ядрами рассматривать взаимодействие электрона с периодическим полем кристалла. В данной лекции в одномерном приближении получена теорема Блоха, которая в трехмерном случае гласит: собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения плоской волны на функцию , периодическую в решетке кристалла. Таким образом, блоховская волновая функция имеет вид

Это фактически означает, что в периодическом поле кристалла на амплитуда волновой функции электрона не остается постоянной, а периодически изменяется с периодом, равным периоду решетки a.

Тест

Вопрос 1. Какой основной недостаток модели свободных электронов

Варианты ответов:

невозможность описать тепловое расширение

невозможность объяснить различия между диэлектриками, полупроводниками и проводниками

невозможность точно описать взаимодействия всех частиц, составляющих твердое тело

Вопрос 2. Используется ли в одноэлектронном приближении аддиабатическое приближение

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 3. блоховская волновая функция имеет вид

Варианты ответов:

Вопросы для контроля

1. Опишите модель свободных электронов

2. Приведите основные предположение одноэлектронного приближения

3. Напишите волновую функцию Блоха

4. Что гласит теорема Блоха в трехмерном случае

5. Какое дополнительное условие накладывается на амплитуду волновой функции электрона в периодическом поле кристалла