Лекция 9. Температурный ход теплоемкости в приближении Дебая

Модель Дебая называют континуальной поскольку в приближении Дебая твердое тело рассматривается как изотропный континуум (изотропная непрерывная среда), в котором частота колебаний прямо пропорциональна волновому числу (т.е. зависимость частоты от волнового числа линейна w=v₀×k, где v₀ − скорость распространения волны) и сохраняется периодичность изменения w(k), причем область периодичности определяется границами зоны Бриллюэна. Зона Бриллюэна в модели Дебая имеет сферическую форму, скорости звука считаются не зависящими от направления для всех трех ветвей поляризации: продольной и двух поперечных волн. Плотность фононных состояний (функции распределения фононов по частотам, т.е. число колебаний (фононов), приходящихся на интервал dw) дебаевского кристалла (т.е. кристалла в котором выполняются приведенные выше предположения и кроме того представляющего собой куб, содержащий N³ атомов, длина ребра куба L=N×a, здесь а − период решетки)

Где V-объем в k-пространстве (пространство волновых чисел) , на который приходится одно разрешенное значение k ; v₀ -среднее значение скорости звука , здесь v_II, v_1^, v_2^− скорости продольной и двух поперечных волн соответственно.

Введено понятие частоты Дебая w_D как максимальной циклической частоты колебаний в приближении Дебая

После некоторых математических выкладок в лекции получено выражение для теплоемкости при постоянном объеме в приближении Дебая

.

Переходя в область низких температур получаем зависимость , что согласуется с экспериментом для диэлектриков: теплоемкость C_V пропорциональна T³. Этот закон называют законом T³ Дебая.

Он хорошо выполняется при достаточно низких температурах, когда возбуждены только акустические колебания, т.е. именно те колебания, которые можно рассматривать как колебания упругой среды (континуума). При высоких температурах, когда возбуждены все моды оптического спектра, в приближении Дебая теплоемкость сводится к классическому закону Дюлонга и Пти. Поскольку обычно для твердых тел спектр колебаний атомов состоит из акустических и оптических ветвей, а оптические ветви могут быть охарактеризованы спектром типа эйнштейновского (см. предыдущую лекцию), то при объяснении экспериментальных данных часто используют спектр, состоящий из комбинации дебаевского и эйнштейновского приближений. На практике функции плотности фононных состояний D(w) определяют из экспериментальных данных, например методом неупругого рассеяния нейтронов или рентгеновских лучей, затем методом компьютерного расчета можно аналитически найти вид D(w), тепловую энергию и теплоемкость.

Вопросы для контроля

Вопрос 1

назовите основные приближения модели Дебая

Вопрос 2

основное отличие приближений Эйнштейна и Дебая

Вопрос 3

что такое дебаевская частота, записать формулу

Вопрос 4.

при каких температурах и в каких веществах реализуется закон T³ Дебая

Тест

Вопрос 1 Когда реализуется закон T³ Дебая

Варианты ответов: при возбуждении только акустических колебаний (низкие температуры),

при возбуждении акустических и оптических колебаний, при возбуждении оптических колебаний

Вопрос 2. Когда темплоемкость в модели Дебая сводится к классическому закону Дюлонга и Пти

Варианты ответов: При высоких температурах, когда возбуждены все моды оптического спектра; при низких температурах; при комнатной температуре

Вопрос 3.

Закон T³ Дебая записывается в виде