Лекция 8. Приближение Эйнштейна для вычисления теплоемкости

Эйнштейн сделал несколько предположений:

1. твердое тело представляет собой совокупность гармонических осцилляторов, совершающих колебания с одинаковой частотой в трех взаимно перпендикулярных направлениях;

2. энергия осцилляторов изменяется порциями (квантами) в соответствии с постулатами Планка.

Т.е. в приближении Эйнштейна предполагается, что если в теле N атомов, то каждому атому ставится в соответствие 3 осциллятора, все 3N осцилляторов в системе колеблются с одинаковыми частотами wE и функции распределения фононов по частотам , где wE − так называемая эйнштейновская частота колебаний, а d − дельта-функция Дирака

При этом выражение для тепловой энергии в приближении Эйнштейна

, здесь как и ранее учтено, что нулевые колебания тепловой энергии не несут.  

В области высоких температур приближение Эйнштейна сводится к закону Дюлонга и Пти, а в области низких температур стремится к нулю по закону экспоненты. Вводится характеристическая температура Эйнштейна, при которой начинается быстрый спад теплоемкости, температура Эйнштейна qE связана с зависимостью частоты колебаний от величины сил взаимодействия атомов в веществе (для большинства твердых тел она порядка 102 K).

 

Вопросы для контроля:

1. Каковы основные предположения модели Эйнштейна

2. Запишите частотный спектр фононов в рассматриваемой модели (функция распределения фононов по частотам- частотный спектр )

3. Запишите выражение для тепловой энергии в приближении Эйнштейна

4. Назовите основное ограничение модели Эйнштейна (предположение о равенстве частот всех упругих волн в твердом теле не соответствует действительности)

5. Назовите одно из достоинств модели (показал, что колебания механических осцилляторов квантуются)

6. Когда модель применима на практике, для описания акустических или оптических фононов (для описания оптических фононов, когда изменение частоты в пределах зоны Бриллюэна невелико, как правило у акустических колебаний решетки разброс частот существенен и модель не применима)

7. Что следует сделать для построения более корректной модели колебаний атомов в кристаллической решетке (ввести закон дисперсии, т.е. учесть, что колебания совершаются с разными частотами)