Лекция 7. Теплоемкость твердых тел и её температурный ход. Энергия тепловых колебаний решетки

При поглощении тепловой энергии твердым телом происходит увеличение интенсивности колебания атомов, увеличение вращательной энергии молекул и увеличение энергии движения электронов. Причем основной вклад в теплоемкость дает именно первый из перечисленных эффектов (увеличение интенсивности колебания атомов), два других могут давать ощутимый вклад лишь в очень узких диапазонах температур. Внутренняя энергия твердого тела состоит из энергии, которой обладают твердые тела при абсолютном нуле температуры (энергия нулевых колебаний), и тепловой энергии.Теплоемкость- количество теплоты, которое необходимо подвести к телу, чтобы повысить его температуру на 1К, более точное определение: отношение бесконечно малого количества теплоты, полученное телом при бесконечно малом изменении его состояния, к соответствующему приращению его температуры. Соответственно можно определить теплоемкость тела при постоянном объеме C_V (V = const) или постоянном давлении C_p (p = const) как производную от энергии тела по температуре. Обычно экспериментально измеряют теплоемкость при постоянном давлении C_p , однако более часто используется в теоретическом курсе физики твердого тела теплоемкость при постоянном объеме C_V , причем их разница определяется выражением:

C_p- C_V=9a²BVT

где a – линейный коэффициент теплового расширения; B– модуль объемной упругости (всестороннего сжатия), V-объем, Т – температура. Относительная разность C_p- C_V (по отношению к любой из C_p или C_V ) невелика, и при температурах ниже комнатной данной разностью довольно часто можно пренебречь. В начале прошлого века Дюлонг и Пти экспериментально установили, что для подавляющей массы неорганических твердых тел при комнатных температурах значение теплоемкости C_V

где S – энтропия кристалла, U внутренная энергия твердого тела, R=8,314 Дж/(моль×K) − молярная газовая постоянная, N_A =6,022×10²³ 1/моль − число Авогадро. При комнатной температуре С_V»25 Дж/(моль×K), однако при низких температурах (T ® 0 K) теплоемкость C_V приближается к нулю по закону ~T³ для диэлектриков и ~T для металлов. Причем, если металл способен переходить в сверхпроводящее состояние, то уменьшение теплоемкости C_V оказывается более интенсивным. В твердых магнетиках вклад в теплоемкость, связанный с упорядочением магнитных моментов, довольно велик в той области температур, где такое упорядочение имеет место. Ниже температуры 0,1 К значительный вклад в теплоемкость C_V может вносить упорядочение ядерных моментов. В данной лекции рассматриваются основы квантовой теории теплоемкости для описания поведения теплоемкости в области низких температур. Как и в предыдущих лекциях, колебания атомов в кристалле заменяются совокупностью квазичастиц – фононов, энергия которых подчиняется законам квантовой статистики. Тепловая энергия тела определяется как , где − среднее значение энергии фонона, - частотный спектр фононов (ф-ция спектральной плотности фононов - задает число волн, или мод, приходящееся на интервал частот от w до w+dw). При абсолютном нуле температуры в спектре присутствуют только нулевые колебания, при повышении температуры в вначале возбуждаются низкочастотные колебания, по мере повышении температуры возбуждаются колебания с все с более высокими частотами (пока не будут возбуждены колебания с максимально возможной частотой), и одновременно растет число квантов низкочастотных колебаний. Учитывая, что распределение фононов по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана среднее число фононов, находящихся в рассматриваемом квантовом состоянии определяется

В лекции также показывается, что значение нулевой энергии - минимальное значение энергии, которое согласуется с требованиями соотношения неопределенностей.

Введено понятие характеристической температуры при достижении которой в кристалле возбуждаются колебания со всеми возможными частотами – температуры Дебая.

Выражение для среднего значения тепловой энергии (энергии тепловых колебаний всей решетки) при учете того, что нулевые колебания тепловой энергии не несут записывается в виде:

Как легко видеть, для расчета необходимо знать функцию распределения фононов по частотам , однако, получить аналитическое выражение для очень сложно. Поэтому для вычисления энергии колебаний вводятся предположение о виде функции , основными из которых являются приближения Эйнштейна (1907) и Дебая (1912).

Тест:

Вопрос 1. Какое явление при комнатной температуре вносит основной вклад в теплоемкость:

Варианты ответов: увеличение интенсивности колебания атомов; увеличение вращательной энергии молекул; увеличение энергии движения электронов

Вопрос 2. Несут ли нулевые колебания температуру

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 3. В модели, представляющей кристаллическую решетку как совокупность квантовых осцилляторов, разрешены ли переходы минуя уровень

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 4. при данной температуре число возбужденных фононов будет максимально у каких колебаний

Варианты ответов: у наиболее низкочастотных колебаний; у наиболее высокочастотных колебаний, равномерно по всем частотам

Вопрос 5

Как ведет себя теплоемкость C_V диэлектриков в области низких температур

Варианты ответов: приближается к нулю по закону ~T³ , приближается к нулю по закону ~T , увеличивается по закону ~T³ , остается постоянной

Вопросы для контроля:

1. Запишите закон Дюлонга и Пти для теплоемкости и объясните его смысл.

2. Запишите выражение для тепловой энергии через функцию спектральной плотности (в общем виде)

3. Сделайте то же самое, но для представления фонона как квантового гармонического осциллятора.

4. Опишите в какой последовательности возбуждаются колебания при увеличении температуры

5. Запишите выражение для неопределенности координаты квантового гармонического осциллятора

6. Запишите выражение для неопределенности импульса квантового гармонического осциллятора

7. Запишите выражение для числа фононов, находящихся в рассматриваемом квантовом состоянии