Лекция 5 Колебания системы дискретных частиц. Приближение Борна — Оппенгеймера (вариация адиабатического приближения) и гармоническое приближение.

Любое твердое тело можно представить как систему колеблющихся дискретных частиц, поскольку неподвижность атомов, составляющих твердое тело противоречит основным постулатам квантовой теории. Поэтому полезно иметь представление о некоторых часто применяемых приближениях. В данной лекции рассмотрены адиабатическое и гармоническое приближения. Обычно в физике суть адиабатического приближения заключается в постоянстве какой-либо величины. В физике конденсированного состояния адиабатическое приближение представляет собой приближение Борна — Оппенгеймера ( вариация адиабатического приближения уравнения Шрёдингера в квантовой механике), который заключается в выделении и отдельном описании ядер атомов и электронов, поскольку для них характерные времена изменения состояния сильно различаются. Вследствие того, что масса ядра существенно превышает массу электрона, электроны движутся гораздо быстрее и успевают почти мгновенно подстроиться под любое изменение координат ядер. Поэтому в данном приближении медленно колеблющиеся (и вращающиеся) ядра образуют электростатическое поле в котором движутся электроны. С точки зрения квантовой механики адиабатическое приближение означает, что полная волновая функция молекулы может быть выражена в виде произведения электронной и ядерной функций. По-иному говоря, вклад электронов в перенос массы пренебрежимо мал, однако, перенос заряда обусловлен чисто электронным вкладом. Исходя из вероятности «размытости» фермиевской ступеньки (на графике «число частиц – энергия») оценено количество электронов в металле, которые не отслеживают движение ионов в узлах кристаллической решетки и получено значение 0.1% общего количества электронов. Таким образом, доказывается, что адиабатическое приближение (приближение Борна — Оппенгеймера) в металлах применимо. С помощью рассмотрения силы, действующей на ион в узле кристаллической решетки (или атом в положении равновесия) и записи разложения потенциальной энергии вблизи точки равновесия r=r0 для малых отклонений от точки равновесия вводится понятие гармонического приближения.

, ,

Тогда сила, действующая на атом при его колебании вблизи положения равновесия запишется в виде:

В данном случае рассмотрения колебаний атомов вблизи их положений равновесия гармоническое приближение заключается в учете только линейного члена, т.е. , при этом силу F называют квазиупругой.

Итак, суммируя вышесказанное:

гармоническими колебаниями называются колебания под действием возвращающей силы, пропорциональной смещению.

основные положения гармонического приближения колебаний атомов заключаются в следующем:

средние равновесные расстояния между соседними атомами отвечают минимуму кривой потенциальной энергии U(r) и соответствуют статистической модели кристалла;

атомы колеблются относительно положений своих центров тяжести (усредненные значения для каждого атома), при малости амплитуды колебаний можно ограничиться учетом только квадратичного члена в разложении потенциальной энергии U(r) по степеням отклонений атома от положения равновесия , при этом в силе учитывается только линейный член и сила называется квазиупругой.

Гармоническое приближение дает хорошие результаты при сравнении с экспериментальными данными во многих случаях. Однако тепловое расширение кристаллов требует учета кубического слагаемого в выражении для потенциальной энергии U(r) - такое приближение называют ангармоническим.

Тест

Вопрос 1. Применимо ли адиабатическое приближение в кристаллах

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 2.

Каков вклад электронов в перенос массы

Варианты ответов: пренебрежимо мал; существенен наряду с вкладом ионов

Вопрос 3

В каком виде записывается сила, действующая на атом при его колебании вблизи положения равновесия в гармоническом приближении:

Варианты ответов:

или

Вопросы для контроля:

  1. В чем заключается адиабатическое приближение при рассмотрении колебаний системы дискретных частиц.
  2. Что с точки зрения квантовой механики означает адиабатическое приближение
  3. Какие колебания называются гармоническими
  4. Назовите основные положения гармонического приближения колебаний атомов

 

Лекция 6 фононы - отдельные кванты колебаний атомов кристалла

Любое твердое тело можно представить как систему колеблющихся дискретных частиц, поскольку неподвижность атомов, составляющих твердое тело противоречит основным постулатам квантовой теории. Может показаться, что проще всего кристалл описывать как систему гармонических осцилляторов, например, энергию колебаний атомов произвольного твердого тела можно описать с помощью некоторого числа независимых гармонических осцилляторов. Однако, как мы видели из предыдущих лекций (в частности, лекции 3 Свойства колебаний решетки на примере моноатомного линейного кристалла) такой подход не всегда оптимален и приемлем. Наиболее простой и наглядной моделью тепловых колебаний решетки до сих пор является волновая модель. При этом колебания атомов твердого тела заменяются соответствующим набором бегущих упругих волн, удовлетворяющих периодическим граничным условиям. Такие граничные условия выбираются, чтобы рассматривать распространение упругих волн (которыми заменили колебания атомов решетки) без учета эффектов отражения на границах кристалла. При этом существуют наборы разрешенных значений волновых чисел, т.е. разрешенные и запрещенные области частот и энергий, что было показано на примерах моноатомной и двухатомной одномерных цепочек атомов. Т.е. энергию упругой волны можно рассматривать как квантовую величину. Волновая модель позволяет элементарные тепловые возбуждения в твердом теле рассматривать как квазичастицу, которой приписывается определенная энергия и импульс. Вводится понятие фонона- квазичастицы, представляющей собой квант колебательного движения атомов кристалла и в отношении которой справедливы все концепции корпускулярно-волнового дуализма. В рамках описываемой модели тепловые колебания атомов в твердых телах можно рассматривать как процесс термического возбуждения фононов, а теплопередачу − как процесс распространения фононов. В соответствии с вышесказанным и опираясь на принципы квантовой механики собственныезначения энергии фонона, являющиеся решением уравнения Шредингера записываются в виде:

 

где n − главное квантовое число, которое может принимать целые неотрицательные значения. Как видно из этой формулы, энергия фонона может иметь только дискретные значения и один уровень от другого отстоит на одно и то же значение энергии , т.е. энергетические уровни являются эквидистантными. Кроме этого, из приведенной выше формулы следует, что существует энергии нулевых колебаний (n=0, представляющая собой минимальное значение энергии, которую может иметь частица) и энергии , характеризующей возбужденное состояние осциллятора. Наличие энергии нулевых колебаний связано с колебательным движением атомов даже при температуре абсолютного нуля, что в свою очередь следует из правила неопределенности Гейзенберга.

 

Вопросы для контроля:

1. Что позволяет сделать замена колебаний атомов твердого тела совокупностью бегущих волн

2. Что такое фонон

3. Что означает энергия нулевых колебаний

4. С чем связано наличие энергии нулевых колебаний

5. Какими являются энергетические уровни энергии фонона, запишите формулу для разницы энергий между уровнями.

6. Можно ли всю систему колебаний атомов твердого тела описать единым уравнением Шредингера. Обоснуйте ответ.

 

Тест

Вопрос 1. Применимы ли к фонону принципы корпускулярно-волнового дуализма

Варианты ответов: нет, да, частично

 

Вопрос 2. Как записывается энергия, характеризующая возбужденное состояние:

Варианты ответов: , ,

 

Вопрос 3. Является ли энергия фононов непрерывной функцией

Варианты ответов: да, может принимать только дискретные значения

 

Вопрос 4. Разница между уровнями энергии фононов записывается в виде:

Варианты ответов: , ,

 

Вопрос 5. Какие фононы возбуждаются при очень низких температурах

Варианты ответов: акустические, оптические