Примеры распределений дискретной случайной величины.

Геометрическое распределение. Пусть проводится серия независимых испытаний до первого успеха, в каждом из которых вероятность появления события (вероятность успеха) равна , а вероятность противоположного события (вероятность неудачи) равна . Серия испытаний заканчивается при первом появлении события .

Обозначим через дискретную случайную величину – число испытаний в рассматриваемой серии испытаний до первого успеха. Очевидно, что . Закон распределения данной дискретной случайной величины выражается формулой:

, где .

Данная случайная величина является примером дискретной случайной величины, принимающей счётное число значений.

Если положить в последней формуле , то получим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

. Поэтому, такое распределение называется геометрическим распределением.

Геометрическое распределение имеет следующие числовые характеристики: и .

Биномиальное распределение.Рассмотрим схему Бернулли для серии из испытаний с вероятностью успеха (с вероятностью неудачи ).

Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины число появлений события (число успехов) в независимых испытаниях . В этом случае , причём закон распределения этой случайной величины определяется формулой Бернулли:

.

Такое распределение называется биномиальным распределением.

Пример 2.1.5.. Игральная кость бросается 2 раза. Написать закон распределения случайной величины - числа выпадений чётной грани.

Решение. Случайная величина . Учитывая, что вероятность успеха в одном испытании , получим:

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	0,25	0,5	0,25

Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25 = 1.

Рассмотрим числовые характеристики случайной величины, распределённой по биномиальному закону.

Сопоставим каждому -ому испытанию случайную величину , которую назовём индикатором появления успеха в -ом испытании. Будем считать, что случайная величина , если в -ом испытании успех, и , если в -ом испытании неудача. Для рассматриваемой схемы закон распределения случайной величины имеет вид:

а числовые характеристики случайной величины равны

Используя величины , случайную величину (число успехов в испытаниях) можно представить как .

В силу независимости испытаний в схеме Бернулли, а следовательно, независимости случайных величин , получим:

Таким образом, биномиальное распределение имеет следующие числовые характеристики:

.

Распределение Пуассона.Пусть проводится независимых испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании. В случае если число испытаний в серии велико (, использование формулы Бернулли сталкивается со значительными вычислительными сложностями. Тогда при больших и малой вероятности успеха прибегают к асимптотической (т.е. приближенной, точность которой растет с увеличением ) формуле Пуассона:

, где .

Пример 2.1.6. Пусть вероятность ошибки при приёме одного сигнала равна . Найти вероятность того, что при независимом приёме сигналов с ошибкой будет принято:

а) ровно 2 сигнала;

б) хотя бы 2 сигнала.

Решение. а) , тогда

б) Ошибочный приём хотя бы двух сигналов из 100 – это приём с ошибкой двух или более сигналов. Переходя к противоположному событию (ошибочный приём 0 или 1 сигналов), получим

.

Формула Пуассона приводит к закону Пуассона, который используется не только как асимптотическое приближение формулы Бернулли, но и имеет самостоятельное значение, например, используется для описания потоков редких событий.

Дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностями

,

называется распределённой по закону Пуассона с параметром .

Случайная величина, распределённая по Закону Пуассона, имеет следующие числовые характеристики.

Глава 2.2. Непрерывные случайные величины.