Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Составим полное приращение функции в точке :

Определение 1.8. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

, (1.1)

где и при . Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Определение 1.9. Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

. (1.2)

Выражения и называются частными дифференциалами. Для независимых переменных и полагают и . Поэтому равенство (1.2) можно представить в виде

. (1.3)

Надо отметить, если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем , . Тогда формула для вычисления полного дифференциала примет вид:

. (1.4)

Для функции переменных полный дифференциал определяется выражением

. (1.5)

Пример 1.4. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Находим частные производные первого порядка:

, , .

Согласно формуле (1.5) получаем

Полный дифференциал функции (формула (1.4)) называется также дифференциалом первого порядка.

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле и имеет следующий вид: