Предел и непрерывность функции двух переменных

Вправи

Кут між двома векторами на площині та у просторі.

Тема. Скалярний добуток векторів. Кут між двома векторами на площині та у просторі

Основні координатні формули

Відстань між точками
На площині У просторі
Координати середини відрізка
; ; ;

 


 

 

 

План

1. Скалярний добуток векторів

2. Кут між двома векторами на площині та у просторі.

 

1. Скалярний добуток векторів

 

(a1;a2;a3) і (b1;b2;b3)   ·= ·∙ ,   ·= (a1∙b1 + a2∙b2 + b3∙a3)
·= 0 ⟺   Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

 

       
   
 

 

 


Рис.7 Рис. 8

 

 

=

 

 

  1. Сторона квадрата ОАВС дорівнює 5. Знайдіть координати його вершин.
  2. Сторона куба дорівнює 10. Знайдіть координати його вершин.
  3. Побудуйте координати точки А (1;2;3), В (3;-1;3), З(1;2;0), F(0;1;2), О(0;0;-1).
  4. Запишіть координати точки А, якщо відомо, що вона лежить:

а) на негативній півосі z на відстані 5 від початку координат;

б) у площині ху на відстані 3 і 4 від осі х и в відповідно;

в) на відстані 3, 4, 5 від координатних площин xy, zx, zy відповідно;

г) на відстані 3, 4, 5 від координатних осей х, у, z відповідно.

  1. Дана точка А(3;2;1). Укажіть координати основ перпендикулярів, опущених із цієї точки на координатні площини.
  2. Дана точка А(3;2;1). Укажіть координати основ перпендикулярів, опущених із цієї точки на координатні осі.
  3. Знайдіть відстань між двома точками, що лежать на координатній прямій:

1) А (1) і В (5);

2) А (-3) і В (5);

3) А (-5) і В (-7);

4) А (a) і В(b).

  1. Знайдіть відстань між двома точками, що лежать на координатній площині:

1) А (1;2) і В (4;6);

2) А (1;7) і В (-5;-1);

3) А (а; b) і В (с; d).

  1. Знайдіть відстань АВ, якщо А (-1;3;-1), В (-1;0;5).
  2. Знайдіть відстань від точки А (-1;2;-2) до початку координат.
  3. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо А (7;1;-5), В(4;-3;-4), С(1;3;-2).
  4. На якій відстані від координатних площин і координатних осей розташована точка А(-2;3;4)?
  5. Яка із точок – А(2;1;5) або В(-2;1;6) – лежить ближче до початку координат?
  6. Дані точки К(0;2;1), Р(2;0;3) і Т(-1;у;0). Знайдіть таке значення у, щоб виконувалася умова: КТ = РТ.
  7. Які координати середини С відрізка АВ, якщо А(0;2;-11), В(2;0;-1)?
  8. Дано С(2;6;3), А(4;2;1). Знайдіть координати точки В, якщо відомо, що АС = ВР і точки А, В, С лежать на одній прямій.
  9. Знайдіть координати середин сторін трикутника АВС, якщо А(2;0;2), В(2;2;0), С(2;2;2).
  10. Знайдіть довжину медіани АМ трикутника АВС, якщо А(2;1;3), В(2;1;5), С(0;1;1).
  11. Точки М(-2;3;4), N(3;5;2) і К(3;-5;1) – середини сторін трикутника. Знайдіть координати вершин цього трикутника.
  12. Точки А(4;2;10), В(10,-2;8), С(-2;0;6) – вершини паралелограма АВСD. Знайдіть координати вершини D.
  13. Дано координати чотирьох вершин куба АВСDА1В1С1D1: А(0;0;0), В(0;0;1), D(0;1;0), А1(1;0;0). Знайдіть координати інших вершин куба.
  14. Дані точки А(-4;7;0) і В(0;-1;2). Знайдіть відстань від початку координат до середини відрізка АВ.
  15. Визначити вид трикутника АВС, якщо:

1) А(7;1-7), В(0;8;-7), З(0;1;0);

2) А(0;-10;-6), В(0;-8;-6), З(-1;-8;-5);

3) А(-5;2;1), В(-4;2;1), З(-5;3;1).

  1. Дано точки А(2;3;4), В(1;1;1). Які координати векторів, ?
  2. Які координати вектора, якщо А(5;1;-3), точка О – початок координат?
  3. Знайти, якщо А(1;2;3), В(3;2;1).
  4. Дані точки А(3;-2;5), В(-4;6;1), С(-2;-6;-11), D(х; у; z). Знайдіть х, у, z, якщо = .
  5. Абсолютна величина вектора (5;3; z) дорівнює 9. Знайдіть z.
  6. Дано вектори (4;-5;6), (-1;2;5). Знайдіть: +, -, +, - .
  7. Дано (1;-2;3), (-2;1;-3). Знайдіть координати векторів 2, -3, 2+ 3, 2- 3.
  8. Знайдіть, якщо (1;2;2).
  9. Чи колінеарні вектори (2;3;8) і (-4;6;-16)?
  10. При якому значенні m і n вектори (15;m;1) і (18;12;n) колінеарні?
  11. Чи колінеарні вектори й, якщо А(3;-2;5), В(-1;4;7), С(1;3;6), D(-3;9;18)?
  12. При яких значеннях m і n вектори й колінеарні, якщо А(1;0;2), В(3;n;5), С(2;2;0), D(5;4;m)?
  13. Знайдіть , якщо (-2;3;1), (-4;-5;2).
  14. Знайдіть , якщо = 5, = 4, а кут між векторами рівний 1200.
  15. Чи перпендикулярні вектори (2;3;6) і (3;2;-1)?
  16. При якому значенні m вектори (6;0;12) і (-8;13;m) перпендикулярні?
  17. Знайдіть кут між векторами (1;1;0) і (1;0;1).
  18. Знайдіть cos АВС, якщо А(1;-3;4), В(2;-2;5), С(3;1;3).
  19. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма АВСD, якщо А(2;-6;0), В(-4;8;2), D(0;-12;0).
  20. Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВМ трикутника АВС, якщо А(-3;-5;1),

В(-4;-1;-2), З(3;3;1).

  1. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах (3;0;-4) і (0;5;0).

 

 

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывность, аналогично случаю функции одной переменной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой этой точки.

Определение 1.3. Число называется пределом функции при и (или, что то же самое, при ®), если для любого существует такое, что для всех и , и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Записывают:

или

.

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому стремится к (число таких направлений бесконечно). Определения бесконечно малых и бесконечно больших величин являющихся функциями двух переменных, аналогичны соответствующим определениям для функций одной переменной.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной.

 

Определение 1.4. Функция (или ) называется непрерывной в точке , если она:

1) определена в этой точке и некоторой ее окрестности;

2) имеет предел ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.

или .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва. Так, например, функция имеет линю разрыва .

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим , . Значит, и . Величины и называются приращениями аргументов и . Тогда . Величина называется полным приращением функции в точке .

Определение 1.5. Функция называется непрерывной в точке , если полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов и стремится к нулю, т.е.

.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели для функций одной переменной.