Тема. Довжина вектора. Відстань між точками у просторі. Координати середини відрізка

 

План

  1. Довжина вектора.
  2. Відстань між точками у просторі.
  3. Координати середини відрізка.

 

1.Довжина вектора

Вектором називається спрямований відрізок. Довжина цього відрізка називається довжиною (модулем, абсолютною величиною) вектора.

= A1А2

Нехай A1 1; у1; z1) і А22; у2; z2) початок і кінець вектора . Тоді довжину вектора знайдемо по формулі:

==

2. Відстань між точками у просторі

Виразимо відстань між двома точками А11; у1; z1) і А22; у2; z2) через координати цих точок.

Розглянемо спочатку випадок, коли пряма А1А2 не паралельна осі z (рис. 5). Проведемо через точки А1 і А2 прямі, паралельні осі z. Вони перетинають площину ху в точках і . Ці точки мають ті ж координати х, у, що й точки А1 і А2, а координата z у них дорівнює нулю. Проведемо тепер площину через точку А2, паралельну площині ху. Вона перетне пряму А1у деякій точці С. За теоремою Піфагора

А1= А1С2 + С

Відрізок СА2 дорівнює відрізку, а

 

= (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2.

 

Довжина відрізка А1С рівна . Тому

А1= (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2 + (z2 – z1)2.

Якщо відрізок А1А2 паралельний осі z, то А1А2 =.

Такий же результат дає і знайдена формула, тому що в цьому випадку х1 = х2, у1 = у2.

Таким чином, відстань між точками А1 і А2 знаходять за формулою:

 

А1А2 = .

 

3. Координати середини відрізка

Нехай A11; у1; z1) і А22; у2; z2) — дві довільні точки. Виразимо координати х, у, z середини С відрізка А1А2 через координати його кінців А1 і А2 (рис. 6). Для цього проведемо через точки А1, А2 і С прямі, паралельні осі z. Вони перетнуть площину ху у точках , і С'(x; y; 0). За теоремою Фалеса точка Сє серединою відрізка . А ми знаємо, що на площині ху координати середини відрізка виражаються через координати його кінців за формулами:

 

 

 

Щоб знайти формулу для z, досить замість площини ху взяти площину хz або уz. При цьому для z одержимо аналогічну формулу:

.

 

 

Рис. 6