Декартові координати у просторі

Декартові координати на площині

На площині
Дві взаємно перпендикулярні осі координат (вісь абсцис Ох, вісь ординат Оу) зі спільним початком відліку. Кожній точці площини ставиться у відповідність пара чисел (хА, уА)— координати проекцій точки на відповідні осі координат

 

Візьмемо три взаємно перпендикулярні прямі х, у, z, щоперетинаються в одній точці О (рис. 3). Проведемо через кожну пару цих прямих площину. Площина, що проходить через прямі х и у, називається площиною ху. Дві інші площини називаються відповідно хz і уz. Прямі х, у, z називаються координатними осями(або осями координат), точка їх перетинання О — початком координат, а площини ху, уz, хz — координатними площинами.Точка О розбиває кожну з осей координат на дві напівпрямі — півосі. Домовимося одну з них називати додатною, а іншу — від’ємною.

 

 

 

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

 

Візьмемо тепер довільну точку А и проведемо через неї площину, паралельну площині уz (рис. 4). Вона перетне вісь х у деякій точці Ах. Координатою х точки А називається число, рівне по абсолютній величині довжині відрізка ОАХ: додатне, якщо точка Ах лежить на додатній півосі х, і від’ємне, якщо вона лежить на від’ємній півосі. Якщо точка Ах збігається із точкою О, то вважаємо, що х = 0. Аналогічно визначаємо координати у и z точки А. Координати точки будемо записувати в дужках поруч із літерним позначенням точки:

А (х; у; z). Іноді будемо позначати точку просто її координатами (х; у; z).

 
 


Приклад: Дана точка А (2; 5; 5).

 

 

  1. Розкладання вектора на складові (базисні вектори).

 

Розкладання вектора
Розглянемо у просторі прямокутну систему координат Охуz. Виділимо на координатних осях Ох, Оу, Оz одиничні вектори (орти), позначувані , , відповідно. Виберемо довільний вектор простору та сполучимо його початок з початком координат: . Знайдемо проекції вектора на координатні осі. Проведемо через кінець вектора площини, паралельні координатним площинам. Точки перетинання цих площин з осями позначимо відповідно через М1, М2 і М3. Одержимо прямокутний паралелепіпед; однієї з діагоналей якого є вектор . Тоді прх =, пру =, прz =. По визначенню суми декількох векторів знаходимо = + + . Таким чином, = , = , то = . (1) Але =·, = · . (2) Позначимо проекції вектора на осі Ох, Оу, Оz відповідно через ax, ay, az, тобто = ax, = ay, = az. Тоді з рівностей (1) і (2) одержуємо   = ax ay ·+ az ·   Ця формула є основною у векторному обчисленні і називається розкладанням вектора по ортах координатних осей.